Theorem trpredmintr 31731

Description: The transitive predecessors form the smallest class transitive in R and A. That is, if B is another R, A transitive class containing Pred ( R , A , X ), then TrPred ( R , A , X ) C_ B (Contributed by Scott Fenton, 25-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trpredmintr	|- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) -> TrPred ( R , A , X ) C_ B )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   y, R   y, X

Proof of Theorem trpredmintr

Dummy variables a c d i j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftrpred2 31719	. 2 |- TrPred ( R , A , X ) = U_ i e. om ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i )
2		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( j = (/) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) = ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) )
3	2	sseq1d 3632	. . . . . . 7 |- ( j = (/) -> ( ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) C_ B <-> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) C_ B ) )
4	3	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( j = (/) -> ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) C_ B ) <-> ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) C_ B ) ) )
5		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) = ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) )
6	5	sseq1d 3632	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) C_ B <-> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) C_ B ) )
7	6	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) C_ B ) <-> ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) C_ B ) ) )
8		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( j = suc k -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) = ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc k ) )
9	8	sseq1d 3632	. . . . . . 7 |- ( j = suc k -> ( ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) C_ B <-> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc k ) C_ B ) )
10	9	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( j = suc k -> ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) C_ B ) <-> ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc k ) C_ B ) ) )
11		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( j = i -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) = ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) )
12	11	sseq1d 3632	. . . . . . 7 |- ( j = i -> ( ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) C_ B <-> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) C_ B ) )
13	12	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( j = i -> ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) C_ B ) <-> ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) C_ B ) ) )
14		setlikespec 5701	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , X ) e. _V )
15		fr0g 7531	. . . . . . . . 9 |- ( Pred ( R , A , X ) e. _V -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) = Pred ( R , A , X ) )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) = Pred ( R , A , X ) )
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) = Pred ( R , A , X ) )
18		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) -> Pred ( R , A , X ) C_ B )
19	17, 18	eqsstrd 3639	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) C_ B )
20		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) e. _V
21		trpredlem1 31727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Pred ( R , A , X ) e. _V -> ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) C_ A )
22	14, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) C_ A )
23	22	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( y e. ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) -> y e. A ) )
24		setlikespec 5701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , y ) e. _V )
25	24	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R Se A -> ( y e. A -> Pred ( R , A , y ) e. _V ) )
26	25	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( y e. A -> Pred ( R , A , y ) e. _V ) )
27	23, 26	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( y e. ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) -> Pred ( R , A , y ) e. _V ) )
28	27	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> A. y e. ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) Pred ( R , A , y ) e. _V )
29	28	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) /\ ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) C_ B ) -> A. y e. ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) Pred ( R , A , y ) e. _V )
30		iunexg 7143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) e. _V /\ A. y e. ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) Pred ( R , A , y ) e. _V ) -> U_ y e. ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) Pred ( R , A , y ) e. _V )
31	20, 29, 30	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) /\ ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) C_ B ) -> U_ y e. ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) Pred ( R , A , y ) e. _V )
32		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ a Pred ( R , A , X )
33		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ a k
34		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ a U_ y e. ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) Pred ( R , A , y )
35		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) = ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om )
36		predeq3 5684	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = d -> Pred ( R , A , y ) = Pred ( R , A , d ) )
37	36	cbviunv 4559	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U_ y e. a Pred ( R , A , y ) = U_ d e. a Pred ( R , A , d )
38		iuneq1 4534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = c -> U_ d e. a Pred ( R , A , d ) = U_ d e. c Pred ( R , A , d ) )
39	37, 38	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = c -> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) = U_ d e. c Pred ( R , A , d ) )
40	39	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) = ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) )
41		rdgeq1 7507	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) = ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) -> rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) = rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) )
42		reseq1 5390	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) = rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) -> ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) = ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) )
43	40, 41, 42	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) = ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om )
44	43	fveq1i 6192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) = ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k )
45	44	eqeq2i 2634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) <-> a = ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) )
46		iuneq1 4534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) -> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) = U_ y e. ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) Pred ( R , A , y ) )
47	45, 46	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) -> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) = U_ y e. ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) Pred ( R , A , y ) )
48	32, 33, 34, 35, 47	frsucmpt 7533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. om /\ U_ y e. ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) Pred ( R , A , y ) e. _V ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc k ) = U_ y e. ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) Pred ( R , A , y ) )
49	31, 48	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. om /\ ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) /\ ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) C_ B ) ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc k ) = U_ y e. ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) Pred ( R , A , y ) )
50	44	sseq1i 3629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) C_ B <-> ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) C_ B )
51	50	anbi2i 730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) /\ ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) C_ B ) <-> ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) /\ ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) C_ B ) )
52		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ y ( X e. A /\ R Se A )
53		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ y A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B
54		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ y Pred ( R , A , X ) C_ B
55	53, 54	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ y ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B )
56	52, 55	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) )
57		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) C_ B
58	56, 57	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) /\ ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) C_ B )
59		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) C_ B -> ( y e. ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) -> y e. B ) )
60		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B -> ( y e. B -> Pred ( R , A , y ) C_ B ) )
61	60	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) -> ( y e. B -> Pred ( R , A , y ) C_ B ) )
62	59, 61	sylan9r 690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) /\ ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) C_ B ) -> ( y e. ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) -> Pred ( R , A , y ) C_ B ) )
63	58, 62	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) /\ ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) C_ B ) -> A. y e. ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) Pred ( R , A , y ) C_ B )
64	63	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. om /\ ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) /\ ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) C_ B ) ) -> A. y e. ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) Pred ( R , A , y ) C_ B )
65	51, 64	sylan2b 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. om /\ ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) /\ ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) C_ B ) ) -> A. y e. ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) Pred ( R , A , y ) C_ B )
66		iunss 4561	. . . . . . . . . 10 |- ( U_ y e. ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) Pred ( R , A , y ) C_ B <-> A. y e. ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) Pred ( R , A , y ) C_ B )
67	65, 66	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. om /\ ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) /\ ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) C_ B ) ) -> U_ y e. ( ( rec ( ( c e. _V |-> U_ d e. c Pred ( R , A , d ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) Pred ( R , A , y ) C_ B )
68	49, 67	eqsstrd 3639	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. om /\ ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) /\ ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) C_ B ) ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc k ) C_ B )
69	68	exp32 631	. . . . . . 7 |- ( k e. om -> ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) -> ( ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) C_ B -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc k ) C_ B ) ) )
70	69	a2d 29	. . . . . 6 |- ( k e. om -> ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` k ) C_ B ) -> ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc k ) C_ B ) ) )
71	4, 7, 10, 13, 19, 70	finds 7092	. . . . 5 |- ( i e. om -> ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) C_ B ) )
72	71	com12 32	. . . 4 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) -> ( i e. om -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) C_ B ) )
73	72	ralrimiv 2965	. . 3 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) -> A. i e. om ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) C_ B )
74		iunss 4561	. . 3 |- ( U_ i e. om ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) C_ B <-> A. i e. om ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) C_ B )
75	73, 74	sylibr 224	. 2 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) -> U_ i e. om ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) C_ B )
76	1, 75	syl5eqss 3649	1 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. y e. B Pred ( R , A , y ) C_ B /\ Pred ( R , A , X ) C_ B ) ) -> TrPred ( R , A , X ) C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   Se wse 5071   |` cres 5116   Predcpred 5679   suc csuc 5725   ` cfv 5888   omcom 7065   reccrdg 7505   TrPredctrpred 31717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-trpred 31718

This theorem is referenced by:  trpredelss  31732  dftrpred3g  31733  trpredpo  31735