Theorem dftrpred3g 31733

Description: The transitive predecessors of X are equal to the predecessors of X together with their transitive predecessors. (Contributed by Scott Fenton, 26-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dftrpred3g	|- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> TrPred ( R , A , X ) = ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, R   y, X

Proof of Theorem dftrpred3g

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 3753	. . . . . 6 |- ( z e. ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) <-> ( z e. Pred ( R , A , X ) \/ z e. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
2		predel 5697	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. Pred ( R , A , X ) -> z e. A )
3		setlikespec 5701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , z ) e. _V )
4		trpredpred 31728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Pred ( R , A , z ) e. _V -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) )
6	5	expcom 451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R Se A -> ( z e. A -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) ) )
7	6	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. A -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) ) )
8	2, 7	syl5 34	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. Pred ( R , A , X ) -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) ) )
9	8	ancld 576	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. Pred ( R , A , X ) -> ( z e. Pred ( R , A , X ) /\ Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) ) ) )
10		trpredeq3 31722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> TrPred ( R , A , y ) = TrPred ( R , A , z ) )
11	10	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) <-> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) ) )
12	11	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. Pred ( R , A , X ) /\ Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) ) -> E. y e. Pred ( R , A , X ) Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) )
13		ssiun 4562	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y e. Pred ( R , A , X ) Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) -> Pred ( R , A , z ) C_ U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. Pred ( R , A , X ) /\ Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) ) -> Pred ( R , A , z ) C_ U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) )
15	9, 14	syl6 35	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. Pred ( R , A , X ) -> Pred ( R , A , z ) C_ U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
16		eliun 4524	. . . . . . . . 9 |- ( z e. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) <-> E. y e. Pred ( R , A , X ) z e. TrPred ( R , A , y ) )
17		predel 5697	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. Pred ( R , A , X ) -> y e. A )
18		setlikespec 5701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , y ) e. _V )
19	18	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R Se A /\ y e. A ) -> Pred ( R , A , y ) e. _V )
20	19	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> Pred ( R , A , y ) e. _V )
21		trpredss 31729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Pred ( R , A , y ) e. _V -> TrPred ( R , A , y ) C_ A )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> TrPred ( R , A , y ) C_ A )
23	22	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> ( z e. TrPred ( R , A , y ) -> z e. A ) )
24	3	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R Se A -> ( z e. A -> Pred ( R , A , z ) e. _V ) )
25	24	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> ( z e. A -> Pred ( R , A , z ) e. _V ) )
26	23, 25	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> ( z e. TrPred ( R , A , y ) -> Pred ( R , A , z ) e. _V ) )
27	26	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) /\ z e. TrPred ( R , A , y ) ) -> Pred ( R , A , z ) e. _V )
28	27, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) /\ z e. TrPred ( R , A , y ) ) -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) )
29		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> y e. A )
30		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> R Se A )
31		trpredelss 31732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. A /\ R Se A ) -> ( z e. TrPred ( R , A , y ) -> TrPred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) ) )
32	29, 30, 31	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> ( z e. TrPred ( R , A , y ) -> TrPred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) ) )
33	32	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) /\ z e. TrPred ( R , A , y ) ) -> TrPred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) )
34	28, 33	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) /\ z e. TrPred ( R , A , y ) ) -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) )
35	34	exp31 630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( y e. A -> ( z e. TrPred ( R , A , y ) -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) ) ) )
36	17, 35	syl5 34	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( y e. Pred ( R , A , X ) -> ( z e. TrPred ( R , A , y ) -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) ) ) )
37	36	reximdvai 3015	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( E. y e. Pred ( R , A , X ) z e. TrPred ( R , A , y ) -> E. y e. Pred ( R , A , X ) Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) ) )
38	37, 13	syl6 35	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( E. y e. Pred ( R , A , X ) z e. TrPred ( R , A , y ) -> Pred ( R , A , z ) C_ U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
39	16, 38	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) -> Pred ( R , A , z ) C_ U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
40	15, 39	jaod 395	. . . . . . 7 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( ( z e. Pred ( R , A , X ) \/ z e. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) -> Pred ( R , A , z ) C_ U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
41		ssun4 3779	. . . . . . 7 |- ( Pred ( R , A , z ) C_ U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) -> Pred ( R , A , z ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
42	40, 41	syl6 35	. . . . . 6 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( ( z e. Pred ( R , A , X ) \/ z e. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) -> Pred ( R , A , z ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) ) )
43	1, 42	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) -> Pred ( R , A , z ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) ) )
44	43	ralrimiv 2965	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> A. z e. ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) Pred ( R , A , z ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
45		ssun1 3776	. . . 4 |- Pred ( R , A , X ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) )
46	44, 45	jctir 561	. . 3 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( A. z e. ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) Pred ( R , A , z ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) /\ Pred ( R , A , X ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) ) )
47		trpredmintr 31731	. . 3 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. z e. ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) Pred ( R , A , z ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) /\ Pred ( R , A , X ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) ) ) -> TrPred ( R , A , X ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
48	46, 47	mpdan 702	. 2 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> TrPred ( R , A , X ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
49		setlikespec 5701	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , X ) e. _V )
50		trpredpred 31728	. . . 4 |- ( Pred ( R , A , X ) e. _V -> Pred ( R , A , X ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
51	49, 50	syl 17	. . 3 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , X ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
52	51	sseld 3602	. . . . . 6 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( y e. Pred ( R , A , X ) -> y e. TrPred ( R , A , X ) ) )
53		trpredelss 31732	. . . . . 6 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( y e. TrPred ( R , A , X ) -> TrPred ( R , A , y ) C_ TrPred ( R , A , X ) ) )
54	52, 53	syld 47	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( y e. Pred ( R , A , X ) -> TrPred ( R , A , y ) C_ TrPred ( R , A , X ) ) )
55	54	ralrimiv 2965	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> A. y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
56		iunss 4561	. . . 4 |- ( U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) C_ TrPred ( R , A , X ) <-> A. y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
57	55, 56	sylibr 224	. . 3 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
58	51, 57	unssd 3789	. 2 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
59	48, 58	eqssd 3620	1 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> TrPred ( R , A , X ) = ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   U_ciun 4520   Se wse 5071   Predcpred 5679   TrPredctrpred 31717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-trpred 31718

This theorem is referenced by:  dftrpred4g  31734