Theorem trpredtr 31730

Description: The transitive predecessors are transitive in R and A (Contributed by Scott Fenton, 20-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trpredtr	|- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( Y e. TrPred ( R , A , X ) -> Pred ( R , A , Y ) C_ TrPred ( R , A , X ) ) )

Proof of Theorem trpredtr

Dummy variables a f i j t y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltrpred 31726	. 2 |- ( Y e. TrPred ( R , A , X ) <-> E. i e. om Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) )
2		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ i e. om ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> i e. om )
3		peano2 7086	. . . . . 6 |- ( i e. om -> suc i e. om )
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ i e. om ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> suc i e. om )
5		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ i e. om ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) )
6		ssid 3624	. . . . . . 7 |- Pred ( R , A , Y ) C_ Pred ( R , A , Y )
7		predeq3 5684	. . . . . . . . . 10 |- ( t = Y -> Pred ( R , A , t ) = Pred ( R , A , Y ) )
8	7	sseq2d 3633	. . . . . . . . 9 |- ( t = Y -> ( Pred ( R , A , Y ) C_ Pred ( R , A , t ) <-> Pred ( R , A , Y ) C_ Pred ( R , A , Y ) ) )
9	8	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) /\ Pred ( R , A , Y ) C_ Pred ( R , A , Y ) ) -> E. t e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) Pred ( R , A , Y ) C_ Pred ( R , A , t ) )
10		ssiun 4562	. . . . . . . 8 |- ( E. t e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) Pred ( R , A , Y ) C_ Pred ( R , A , t ) -> Pred ( R , A , Y ) C_ U_ t e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) Pred ( R , A , t ) )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) /\ Pred ( R , A , Y ) C_ Pred ( R , A , Y ) ) -> Pred ( R , A , Y ) C_ U_ t e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) Pred ( R , A , t ) )
12	5, 6, 11	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ i e. om ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> Pred ( R , A , Y ) C_ U_ t e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) Pred ( R , A , t ) )
13		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) e. _V
14		setlikespec 5701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , X ) e. _V )
15		trpredlem1 31727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Pred ( R , A , X ) e. _V -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) C_ A )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) C_ A )
17	16	sseld 3602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( t e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) -> t e. A ) )
18		setlikespec 5701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , t ) e. _V )
19	18	expcom 451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R Se A -> ( t e. A -> Pred ( R , A , t ) e. _V ) )
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( t e. A -> Pred ( R , A , t ) e. _V ) )
21	17, 20	syld 47	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( t e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) -> Pred ( R , A , t ) e. _V ) )
22	21	ralrimiv 2965	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> A. t e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) Pred ( R , A , t ) e. _V )
23	22	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ i e. om ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> A. t e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) Pred ( R , A , t ) e. _V )
24		iunexg 7143	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) e. _V /\ A. t e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) Pred ( R , A , t ) e. _V ) -> U_ t e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) Pred ( R , A , t ) e. _V )
25	13, 23, 24	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ i e. om ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> U_ t e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) Pred ( R , A , t ) e. _V )
26		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ f Pred ( R , A , X )
27		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ f i
28		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ f U_ t e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) Pred ( R , A , t )
29		predeq3 5684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = t -> Pred ( R , A , y ) = Pred ( R , A , t ) )
30	29	cbviunv 4559	. . . . . . . . . . 11 |- U_ y e. a Pred ( R , A , y ) = U_ t e. a Pred ( R , A , t )
31		iuneq1 4534	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = f -> U_ t e. a Pred ( R , A , t ) = U_ t e. f Pred ( R , A , t ) )
32	30, 31	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( a = f -> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) = U_ t e. f Pred ( R , A , t ) )
33	32	cbvmptv 4750	. . . . . . . . 9 |- ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) = ( f e. _V |-> U_ t e. f Pred ( R , A , t ) )
34		rdgeq1 7507	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) = ( f e. _V |-> U_ t e. f Pred ( R , A , t ) ) -> rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) = rec ( ( f e. _V |-> U_ t e. f Pred ( R , A , t ) ) , Pred ( R , A , X ) ) )
35		reseq1 5390	. . . . . . . . 9 |- ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) = rec ( ( f e. _V |-> U_ t e. f Pred ( R , A , t ) ) , Pred ( R , A , X ) ) -> ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) = ( rec ( ( f e. _V |-> U_ t e. f Pred ( R , A , t ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) )
36	33, 34, 35	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) = ( rec ( ( f e. _V |-> U_ t e. f Pred ( R , A , t ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om )
37		iuneq1 4534	. . . . . . . 8 |- ( f = ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) -> U_ t e. f Pred ( R , A , t ) = U_ t e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) Pred ( R , A , t ) )
38	26, 27, 28, 36, 37	frsucmpt 7533	. . . . . . 7 |- ( ( i e. om /\ U_ t e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) Pred ( R , A , t ) e. _V ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc i ) = U_ t e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) Pred ( R , A , t ) )
39	2, 25, 38	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ i e. om ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc i ) = U_ t e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) Pred ( R , A , t ) )
40	12, 39	sseqtr4d 3642	. . . . 5 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ i e. om ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> Pred ( R , A , Y ) C_ ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc i ) )
41		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( j = suc i -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) = ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc i ) )
42	41	sseq2d 3633	. . . . . . . 8 |- ( j = suc i -> ( Pred ( R , A , Y ) C_ ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) <-> Pred ( R , A , Y ) C_ ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc i ) ) )
43	42	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( suc i e. om /\ Pred ( R , A , Y ) C_ ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc i ) ) -> E. j e. om Pred ( R , A , Y ) C_ ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) )
44		ssiun 4562	. . . . . . 7 |- ( E. j e. om Pred ( R , A , Y ) C_ ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) -> Pred ( R , A , Y ) C_ U_ j e. om ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) )
45	43, 44	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( suc i e. om /\ Pred ( R , A , Y ) C_ ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc i ) ) -> Pred ( R , A , Y ) C_ U_ j e. om ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) )
46		dftrpred2 31719	. . . . . 6 |- TrPred ( R , A , X ) = U_ j e. om ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j )
47	45, 46	syl6sseqr 3652	. . . . 5 |- ( ( suc i e. om /\ Pred ( R , A , Y ) C_ ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc i ) ) -> Pred ( R , A , Y ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
48	4, 40, 47	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ i e. om ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> Pred ( R , A , Y ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
49	48	ex 450	. . 3 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ i e. om ) -> ( Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) -> Pred ( R , A , Y ) C_ TrPred ( R , A , X ) ) )
50	49	rexlimdva 3031	. 2 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( E. i e. om Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) -> Pred ( R , A , Y ) C_ TrPred ( R , A , X ) ) )
51	1, 50	syl5bi 232	1 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( Y e. TrPred ( R , A , X ) -> Pred ( R , A , Y ) C_ TrPred ( R , A , X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   Se wse 5071   |` cres 5116   Predcpred 5679   suc csuc 5725   ` cfv 5888   omcom 7065   reccrdg 7505   TrPredctrpred 31717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-trpred 31718

This theorem is referenced by:  trpredelss  31732  frmin  31739