Theorem trpredpred 31728

Description: Assuming it exists, the predecessor class is a subset of the transitive predecessors. (Contributed by Scott Fenton, 18-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
trpredpred	|- ( Pred ( R , A , X ) e. B -> Pred ( R , A , X ) C_ TrPred ( R , A , X ) )

Proof of Theorem trpredpred

Dummy variables a y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fr0g 7531	. . . . . 6 |- ( Pred ( R , A , X ) e. B -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) = Pred ( R , A , X ) )
2		frfnom 7530	. . . . . . 7 |- ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) Fn om
3		peano1 7085	. . . . . . 7 |- (/) e. om
4		fnbrfvb 6236	. . . . . . 7 |- ( ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) Fn om /\ (/) e. om ) -> ( ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) = Pred ( R , A , X ) <-> (/) ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) Pred ( R , A , X ) ) )
5	2, 3, 4	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) = Pred ( R , A , X ) <-> (/) ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) Pred ( R , A , X ) )
6	1, 5	sylib 208	. . . . 5 |- ( Pred ( R , A , X ) e. B -> (/) ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) Pred ( R , A , X ) )
7		0ex 4790	. . . . . 6 |- (/) e. _V
8		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( z = (/) -> ( z ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) Pred ( R , A , X ) <-> (/) ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) Pred ( R , A , X ) ) )
9	7, 8	spcev 3300	. . . . 5 |- ( (/) ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) Pred ( R , A , X ) -> E. z z ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) Pred ( R , A , X ) )
10	6, 9	syl 17	. . . 4 |- ( Pred ( R , A , X ) e. B -> E. z z ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) Pred ( R , A , X ) )
11		elrng 5314	. . . 4 |- ( Pred ( R , A , X ) e. B -> ( Pred ( R , A , X ) e. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) <-> E. z z ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) Pred ( R , A , X ) ) )
12	10, 11	mpbird 247	. . 3 |- ( Pred ( R , A , X ) e. B -> Pred ( R , A , X ) e. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) )
13		elssuni 4467	. . 3 |- ( Pred ( R , A , X ) e. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) -> Pred ( R , A , X ) C_ U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) )
14	12, 13	syl 17	. 2 |- ( Pred ( R , A , X ) e. B -> Pred ( R , A , X ) C_ U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) )
15		df-trpred 31718	. 2 |- TrPred ( R , A , X ) = U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om )
16	14, 15	syl6sseqr 3652	1 |- ( Pred ( R , A , X ) e. B -> Pred ( R , A , X ) C_ TrPred ( R , A , X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   Predcpred 5679   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   omcom 7065   reccrdg 7505   TrPredctrpred 31717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-trpred 31718

This theorem is referenced by:  dftrpred3g  31733  trpredpo  31735  frmin  31739