Theorem mbfimaopnlem 23422

Description: Lemma for mbfimaopn 23423. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfimaopn.1	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )
mbfimaopn.2	|- G = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
mbfimaopn.3	|- B = ( (,) " ( QQ X. QQ ) )
mbfimaopn.4	|- K = ran ( x e. B , y e. B |-> ( x X. y ) )

Assertion

Ref	Expression
mbfimaopnlem	|- ( ( F e. MblFn /\ A e. J ) -> ( `' F " A ) e. dom vol )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, B   x, F, y   x, G, y   x, J, y

Allowed substitution hints:   A( y)   K( x, y)

Proof of Theorem mbfimaopnlem

Dummy variables t z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfimaopn.2	. . . . . . . 8 |- G = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
2		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
3		mbfimaopn.1	. . . . . . . 8 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
4	1, 2, 3	cnrehmeo 22752	. . . . . . 7 |- G e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Homeo J )
5		hmeocn 21563	. . . . . . 7 |- ( G e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Homeo J ) -> G e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Cn J ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 |- G e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Cn J )
7		cnima 21069	. . . . . 6 |- ( ( G e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Cn J ) /\ A e. J ) -> ( `' G " A ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) )
8	6, 7	mpan 706	. . . . 5 |- ( A e. J -> ( `' G " A ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) )
9		mbfimaopn.3	. . . . . . . . 9 |- B = ( (,) " ( QQ X. QQ ) )
10	9	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` B ) = ( topGen ` ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) )
11	10	tgqioo 22603	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` B )
12	11, 11	oveq12i 6662	. . . . . 6 |- ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) = ( ( topGen ` B ) tX ( topGen ` B ) )
13		qtopbas 22563	. . . . . . . 8 |- ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) e. TopBases
14	9, 13	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- B e. TopBases
15		txbasval 21409	. . . . . . 7 |- ( ( B e. TopBases /\ B e. TopBases ) -> ( ( topGen ` B ) tX ( topGen ` B ) ) = ( B tX B ) )
16	14, 14, 15	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( ( topGen ` B ) tX ( topGen ` B ) ) = ( B tX B )
17		mbfimaopn.4	. . . . . . . 8 |- K = ran ( x e. B , y e. B |-> ( x X. y ) )
18	17	txval 21367	. . . . . . 7 |- ( ( B e. TopBases /\ B e. TopBases ) -> ( B tX B ) = ( topGen ` K ) )
19	14, 14, 18	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( B tX B ) = ( topGen ` K )
20	12, 16, 19	3eqtri 2648	. . . . 5 |- ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) = ( topGen ` K )
21	8, 20	syl6eleq 2711	. . . 4 |- ( A e. J -> ( `' G " A ) e. ( topGen ` K ) )
22	17	txbas 21370	. . . . . 6 |- ( ( B e. TopBases /\ B e. TopBases ) -> K e. TopBases )
23	14, 14, 22	mp2an 708	. . . . 5 |- K e. TopBases
24		eltg3 20766	. . . . 5 |- ( K e. TopBases -> ( ( `' G " A ) e. ( topGen ` K ) <-> E. t ( t C_ K /\ ( `' G " A ) = U. t ) ) )
25	23, 24	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( `' G " A ) e. ( topGen ` K ) <-> E. t ( t C_ K /\ ( `' G " A ) = U. t ) )
26	21, 25	sylib 208	. . 3 |- ( A e. J -> E. t ( t C_ K /\ ( `' G " A ) = U. t ) )
27	26	adantl 482	. 2 |- ( ( F e. MblFn /\ A e. J ) -> E. t ( t C_ K /\ ( `' G " A ) = U. t ) )
28	1	cnref1o 11827	. . . . . . . 8 |- G : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC
29		f1ofo 6144	. . . . . . . 8 |- ( G : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC -> G : ( RR X. RR ) -onto-> CC )
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- G : ( RR X. RR ) -onto-> CC
31		elssuni 4467	. . . . . . . . 9 |- ( A e. J -> A C_ U. J )
32	3	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . 10 |- J e. (TopOn ` CC )
33	32	toponunii 20721	. . . . . . . . 9 |- CC = U. J
34	31, 33	syl6sseqr 3652	. . . . . . . 8 |- ( A e. J -> A C_ CC )
35	34	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. MblFn /\ A e. J ) /\ ( t C_ K /\ ( `' G " A ) = U. t ) ) -> A C_ CC )
36		foimacnv 6154	. . . . . . 7 |- ( ( G : ( RR X. RR ) -onto-> CC /\ A C_ CC ) -> ( G " ( `' G " A ) ) = A )
37	30, 35, 36	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. MblFn /\ A e. J ) /\ ( t C_ K /\ ( `' G " A ) = U. t ) ) -> ( G " ( `' G " A ) ) = A )
38		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. MblFn /\ A e. J ) /\ ( t C_ K /\ ( `' G " A ) = U. t ) ) -> ( `' G " A ) = U. t )
39	38	imaeq2d 5466	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. MblFn /\ A e. J ) /\ ( t C_ K /\ ( `' G " A ) = U. t ) ) -> ( G " ( `' G " A ) ) = ( G " U. t ) )
40		imauni 6504	. . . . . . 7 |- ( G " U. t ) = U_ w e. t ( G " w )
41	39, 40	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. MblFn /\ A e. J ) /\ ( t C_ K /\ ( `' G " A ) = U. t ) ) -> ( G " ( `' G " A ) ) = U_ w e. t ( G " w ) )
42	37, 41	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ( ( F e. MblFn /\ A e. J ) /\ ( t C_ K /\ ( `' G " A ) = U. t ) ) -> A = U_ w e. t ( G " w ) )
43	42	imaeq2d 5466	. . . 4 |- ( ( ( F e. MblFn /\ A e. J ) /\ ( t C_ K /\ ( `' G " A ) = U. t ) ) -> ( `' F " A ) = ( `' F " U_ w e. t ( G " w ) ) )
44		imaiun 6503	. . . 4 |- ( `' F " U_ w e. t ( G " w ) ) = U_ w e. t ( `' F " ( G " w ) )
45	43, 44	syl6eq 2672	. . 3 |- ( ( ( F e. MblFn /\ A e. J ) /\ ( t C_ K /\ ( `' G " A ) = U. t ) ) -> ( `' F " A ) = U_ w e. t ( `' F " ( G " w ) ) )
46		ssdomg 8001	. . . . . . 7 |- ( K e. TopBases -> ( t C_ K -> t ~<_ K ) )
47	23, 46	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( t C_ K -> t ~<_ K )
48		omelon 8543	. . . . . . . . . . 11 |- om e. On
49		nnenom 12779	. . . . . . . . . . . 12 |- NN ~~ om
50	49	ensymi 8006	. . . . . . . . . . 11 |- om ~~ NN
51		isnumi 8772	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( om e. On /\ om ~~ NN ) -> NN e. dom card )
52	48, 50, 51	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- NN e. dom card
53		qnnen 14942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- QQ ~~ NN
54		xpen 8123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( QQ ~~ NN /\ QQ ~~ NN ) -> ( QQ X. QQ ) ~~ ( NN X. NN ) )
55	53, 53, 54	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( QQ X. QQ ) ~~ ( NN X. NN )
56		xpnnen 14939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( NN X. NN ) ~~ NN
57	55, 56	entri 8010	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( QQ X. QQ ) ~~ NN
58	57, 49	entr2i 8011	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- om ~~ ( QQ X. QQ )
59		isnumi 8772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( om e. On /\ om ~~ ( QQ X. QQ ) ) -> ( QQ X. QQ ) e. dom card )
60	48, 58, 59	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( QQ X. QQ ) e. dom card
61		ioof 12271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
62		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> Fun (,) )
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- Fun (,)
64		qssre 11798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- QQ C_ RR
65		ressxr 10083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- RR C_ RR*
66	64, 65	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- QQ C_ RR*
67		xpss12 5225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( QQ C_ RR* /\ QQ C_ RR* ) -> ( QQ X. QQ ) C_ ( RR* X. RR* ) )
68	66, 66, 67	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( QQ X. QQ ) C_ ( RR* X. RR* )
69	61	fdmi 6052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- dom (,) = ( RR* X. RR* )
70	68, 69	sseqtr4i 3638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( QQ X. QQ ) C_ dom (,)
71		fores 6124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Fun (,) /\ ( QQ X. QQ ) C_ dom (,) ) -> ( (,) |` ( QQ X. QQ ) ) : ( QQ X. QQ ) -onto-> ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) )
72	63, 70, 71	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (,) |` ( QQ X. QQ ) ) : ( QQ X. QQ ) -onto-> ( (,) " ( QQ X. QQ ) )
73		fodomnum 8880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( QQ X. QQ ) e. dom card -> ( ( (,) |` ( QQ X. QQ ) ) : ( QQ X. QQ ) -onto-> ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) -> ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) ~<_ ( QQ X. QQ ) ) )
74	60, 72, 73	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) ~<_ ( QQ X. QQ )
75	9, 74	eqbrtri 4674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B ~<_ ( QQ X. QQ )
76		domentr 8015	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B ~<_ ( QQ X. QQ ) /\ ( QQ X. QQ ) ~~ NN ) -> B ~<_ NN )
77	75, 57, 76	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- B ~<_ NN
78	14	elexi 3213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B e. _V
79	78	xpdom1 8059	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B ~<_ NN -> ( B X. B ) ~<_ ( NN X. B ) )
80	77, 79	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B X. B ) ~<_ ( NN X. B )
81		nnex 11026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN e. _V
82	81	xpdom2 8055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B ~<_ NN -> ( NN X. B ) ~<_ ( NN X. NN ) )
83	77, 82	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( NN X. B ) ~<_ ( NN X. NN )
84		domtr 8009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B X. B ) ~<_ ( NN X. B ) /\ ( NN X. B ) ~<_ ( NN X. NN ) ) -> ( B X. B ) ~<_ ( NN X. NN ) )
85	80, 83, 84	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( B X. B ) ~<_ ( NN X. NN )
86		domentr 8015	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B X. B ) ~<_ ( NN X. NN ) /\ ( NN X. NN ) ~~ NN ) -> ( B X. B ) ~<_ NN )
87	85, 56, 86	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( B X. B ) ~<_ NN
88		numdom 8861	. . . . . . . . . 10 |- ( ( NN e. dom card /\ ( B X. B ) ~<_ NN ) -> ( B X. B ) e. dom card )
89	52, 87, 88	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( B X. B ) e. dom card
90		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. B , y e. B |-> ( x X. y ) ) = ( x e. B , y e. B |-> ( x X. y ) )
91		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
92		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
93	91, 92	xpex 6962	. . . . . . . . . . 11 |- ( x X. y ) e. _V
94	90, 93	fnmpt2i 7239	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. B , y e. B |-> ( x X. y ) ) Fn ( B X. B )
95		dffn4 6121	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. B , y e. B |-> ( x X. y ) ) Fn ( B X. B ) <-> ( x e. B , y e. B |-> ( x X. y ) ) : ( B X. B ) -onto-> ran ( x e. B , y e. B |-> ( x X. y ) ) )
96	94, 95	mpbi 220	. . . . . . . . 9 |- ( x e. B , y e. B |-> ( x X. y ) ) : ( B X. B ) -onto-> ran ( x e. B , y e. B |-> ( x X. y ) )
97		fodomnum 8880	. . . . . . . . 9 |- ( ( B X. B ) e. dom card -> ( ( x e. B , y e. B |-> ( x X. y ) ) : ( B X. B ) -onto-> ran ( x e. B , y e. B |-> ( x X. y ) ) -> ran ( x e. B , y e. B |-> ( x X. y ) ) ~<_ ( B X. B ) ) )
98	89, 96, 97	mp2 9	. . . . . . . 8 |- ran ( x e. B , y e. B |-> ( x X. y ) ) ~<_ ( B X. B )
99		domtr 8009	. . . . . . . 8 |- ( ( ran ( x e. B , y e. B |-> ( x X. y ) ) ~<_ ( B X. B ) /\ ( B X. B ) ~<_ NN ) -> ran ( x e. B , y e. B |-> ( x X. y ) ) ~<_ NN )
100	98, 87, 99	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ran ( x e. B , y e. B |-> ( x X. y ) ) ~<_ NN
101	17, 100	eqbrtri 4674	. . . . . 6 |- K ~<_ NN
102		domtr 8009	. . . . . 6 |- ( ( t ~<_ K /\ K ~<_ NN ) -> t ~<_ NN )
103	47, 101, 102	sylancl 694	. . . . 5 |- ( t C_ K -> t ~<_ NN )
104	103	ad2antrl 764	. . . 4 |- ( ( ( F e. MblFn /\ A e. J ) /\ ( t C_ K /\ ( `' G " A ) = U. t ) ) -> t ~<_ NN )
105	17	eleq2i 2693	. . . . . . . . 9 |- ( w e. K <-> w e. ran ( x e. B , y e. B |-> ( x X. y ) ) )
106	90, 93	elrnmpt2 6773	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ran ( x e. B , y e. B |-> ( x X. y ) ) <-> E. x e. B E. y e. B w = ( x X. y ) )
107	105, 106	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( w e. K <-> E. x e. B E. y e. B w = ( x X. y ) )
108		elin 3796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( ( `' ( Re o. F ) " x ) i^i ( `' ( Im o. F ) " y ) ) <-> ( z e. ( `' ( Re o. F ) " x ) /\ z e. ( `' ( Im o. F ) " y ) ) )
109		mbff 23394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F e. MblFn -> F : dom F --> CC )
110	109	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> F : dom F --> CC )
111		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F : dom F --> CC /\ z e. dom F ) -> ( ( Re o. F ) ` z ) = ( Re ` ( F ` z ) ) )
112	110, 111	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. dom F ) -> ( ( Re o. F ) ` z ) = ( Re ` ( F ` z ) ) )
113	112	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. dom F ) -> ( ( ( Re o. F ) ` z ) e. x <-> ( Re ` ( F ` z ) ) e. x ) )
114		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F : dom F --> CC /\ z e. dom F ) -> ( ( Im o. F ) ` z ) = ( Im ` ( F ` z ) ) )
115	110, 114	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. dom F ) -> ( ( Im o. F ) ` z ) = ( Im ` ( F ` z ) ) )
116	115	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. dom F ) -> ( ( ( Im o. F ) ` z ) e. y <-> ( Im ` ( F ` z ) ) e. y ) )
117	113, 116	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. dom F ) -> ( ( ( ( Re o. F ) ` z ) e. x /\ ( ( Im o. F ) ` z ) e. y ) <-> ( ( Re ` ( F ` z ) ) e. x /\ ( Im ` ( F ` z ) ) e. y ) ) )
118	110	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) e. CC )
119		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = ( F ` z ) -> ( Re ` w ) = ( Re ` ( F ` z ) ) )
120		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = ( F ` z ) -> ( Im ` w ) = ( Im ` ( F ` z ) ) )
121	119, 120	opeq12d 4410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = ( F ` z ) -> <. ( Re ` w ) , ( Im ` w ) >. = <. ( Re ` ( F ` z ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) >. )
122	1	cnrecnv 13905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- `' G = ( w e. CC |-> <. ( Re ` w ) , ( Im ` w ) >. )
123		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- <. ( Re ` ( F ` z ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) >. e. _V
124	121, 122, 123	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F ` z ) e. CC -> ( `' G ` ( F ` z ) ) = <. ( Re ` ( F ` z ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) >. )
125	118, 124	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. dom F ) -> ( `' G ` ( F ` z ) ) = <. ( Re ` ( F ` z ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) >. )
126	125	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. dom F ) -> ( ( `' G ` ( F ` z ) ) e. ( x X. y ) <-> <. ( Re ` ( F ` z ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) >. e. ( x X. y ) ) )
127	118	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. dom F ) -> ( ( `' G ` ( F ` z ) ) e. ( x X. y ) <-> ( ( F ` z ) e. CC /\ ( `' G ` ( F ` z ) ) e. ( x X. y ) ) ) )
128	126, 127	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. dom F ) -> ( <. ( Re ` ( F ` z ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) >. e. ( x X. y ) <-> ( ( F ` z ) e. CC /\ ( `' G ` ( F ` z ) ) e. ( x X. y ) ) ) )
129		opelxp 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. ( Re ` ( F ` z ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) >. e. ( x X. y ) <-> ( ( Re ` ( F ` z ) ) e. x /\ ( Im ` ( F ` z ) ) e. y ) )
130		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( G : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC -> `' G : CC -1-1-onto-> ( RR X. RR ) )
131		f1ofn 6138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( `' G : CC -1-1-onto-> ( RR X. RR ) -> `' G Fn CC )
132	28, 130, 131	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- `' G Fn CC
133		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( `' G Fn CC -> ( ( F ` z ) e. ( `' `' G " ( x X. y ) ) <-> ( ( F ` z ) e. CC /\ ( `' G ` ( F ` z ) ) e. ( x X. y ) ) ) )
134	132, 133	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` z ) e. ( `' `' G " ( x X. y ) ) <-> ( ( F ` z ) e. CC /\ ( `' G ` ( F ` z ) ) e. ( x X. y ) ) )
135		imacnvcnv 5599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( `' `' G " ( x X. y ) ) = ( G " ( x X. y ) )
136	135	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` z ) e. ( `' `' G " ( x X. y ) ) <-> ( F ` z ) e. ( G " ( x X. y ) ) )
137	134, 136	bitr3i 266	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` z ) e. CC /\ ( `' G ` ( F ` z ) ) e. ( x X. y ) ) <-> ( F ` z ) e. ( G " ( x X. y ) ) )
138	128, 129, 137	3bitr3g 302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. dom F ) -> ( ( ( Re ` ( F ` z ) ) e. x /\ ( Im ` ( F ` z ) ) e. y ) <-> ( F ` z ) e. ( G " ( x X. y ) ) ) )
139	117, 138	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. dom F ) -> ( ( ( ( Re o. F ) ` z ) e. x /\ ( ( Im o. F ) ` z ) e. y ) <-> ( F ` z ) e. ( G " ( x X. y ) ) ) )
140	139	pm5.32da 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( z e. dom F /\ ( ( ( Re o. F ) ` z ) e. x /\ ( ( Im o. F ) ` z ) e. y ) ) <-> ( z e. dom F /\ ( F ` z ) e. ( G " ( x X. y ) ) ) ) )
141		ref 13852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- Re : CC --> RR
142		fco 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Re : CC --> RR /\ F : dom F --> CC ) -> ( Re o. F ) : dom F --> RR )
143	141, 109, 142	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F e. MblFn -> ( Re o. F ) : dom F --> RR )
144		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Re o. F ) : dom F --> RR -> ( Re o. F ) Fn dom F )
145		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Re o. F ) Fn dom F -> ( z e. ( `' ( Re o. F ) " x ) <-> ( z e. dom F /\ ( ( Re o. F ) ` z ) e. x ) ) )
146	143, 144, 145	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F e. MblFn -> ( z e. ( `' ( Re o. F ) " x ) <-> ( z e. dom F /\ ( ( Re o. F ) ` z ) e. x ) ) )
147		imf 13853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- Im : CC --> RR
148		fco 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Im : CC --> RR /\ F : dom F --> CC ) -> ( Im o. F ) : dom F --> RR )
149	147, 109, 148	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F e. MblFn -> ( Im o. F ) : dom F --> RR )
150		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Im o. F ) : dom F --> RR -> ( Im o. F ) Fn dom F )
151		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Im o. F ) Fn dom F -> ( z e. ( `' ( Im o. F ) " y ) <-> ( z e. dom F /\ ( ( Im o. F ) ` z ) e. y ) ) )
152	149, 150, 151	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F e. MblFn -> ( z e. ( `' ( Im o. F ) " y ) <-> ( z e. dom F /\ ( ( Im o. F ) ` z ) e. y ) ) )
153	146, 152	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F e. MblFn -> ( ( z e. ( `' ( Re o. F ) " x ) /\ z e. ( `' ( Im o. F ) " y ) ) <-> ( ( z e. dom F /\ ( ( Re o. F ) ` z ) e. x ) /\ ( z e. dom F /\ ( ( Im o. F ) ` z ) e. y ) ) ) )
154		anandi 871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. dom F /\ ( ( ( Re o. F ) ` z ) e. x /\ ( ( Im o. F ) ` z ) e. y ) ) <-> ( ( z e. dom F /\ ( ( Re o. F ) ` z ) e. x ) /\ ( z e. dom F /\ ( ( Im o. F ) ` z ) e. y ) ) )
155	153, 154	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F e. MblFn -> ( ( z e. ( `' ( Re o. F ) " x ) /\ z e. ( `' ( Im o. F ) " y ) ) <-> ( z e. dom F /\ ( ( ( Re o. F ) ` z ) e. x /\ ( ( Im o. F ) ` z ) e. y ) ) ) )
156	155	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( z e. ( `' ( Re o. F ) " x ) /\ z e. ( `' ( Im o. F ) " y ) ) <-> ( z e. dom F /\ ( ( ( Re o. F ) ` z ) e. x /\ ( ( Im o. F ) ` z ) e. y ) ) ) )
157		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : dom F --> CC -> F Fn dom F )
158		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F Fn dom F -> ( z e. ( `' F " ( G " ( x X. y ) ) ) <-> ( z e. dom F /\ ( F ` z ) e. ( G " ( x X. y ) ) ) ) )
159	109, 157, 158	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F e. MblFn -> ( z e. ( `' F " ( G " ( x X. y ) ) ) <-> ( z e. dom F /\ ( F ` z ) e. ( G " ( x X. y ) ) ) ) )
160	159	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( z e. ( `' F " ( G " ( x X. y ) ) ) <-> ( z e. dom F /\ ( F ` z ) e. ( G " ( x X. y ) ) ) ) )
161	140, 156, 160	3bitr4d 300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( z e. ( `' ( Re o. F ) " x ) /\ z e. ( `' ( Im o. F ) " y ) ) <-> z e. ( `' F " ( G " ( x X. y ) ) ) ) )
162	108, 161	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( z e. ( ( `' ( Re o. F ) " x ) i^i ( `' ( Im o. F ) " y ) ) <-> z e. ( `' F " ( G " ( x X. y ) ) ) ) )
163	162	eqrdv 2620	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( `' ( Re o. F ) " x ) i^i ( `' ( Im o. F ) " y ) ) = ( `' F " ( G " ( x X. y ) ) ) )
164		ismbfcn 23398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F : dom F --> CC -> ( F e. MblFn <-> ( ( Re o. F ) e. MblFn /\ ( Im o. F ) e. MblFn ) ) )
165	109, 164	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F e. MblFn -> ( F e. MblFn <-> ( ( Re o. F ) e. MblFn /\ ( Im o. F ) e. MblFn ) ) )
166	165	ibi 256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F e. MblFn -> ( ( Re o. F ) e. MblFn /\ ( Im o. F ) e. MblFn ) )
167	166	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F e. MblFn -> ( Re o. F ) e. MblFn )
168		ismbf 23397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Re o. F ) : dom F --> RR -> ( ( Re o. F ) e. MblFn <-> A. x e. ran (,) ( `' ( Re o. F ) " x ) e. dom vol ) )
169	143, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F e. MblFn -> ( ( Re o. F ) e. MblFn <-> A. x e. ran (,) ( `' ( Re o. F ) " x ) e. dom vol ) )
170	167, 169	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. MblFn -> A. x e. ran (,) ( `' ( Re o. F ) " x ) e. dom vol )
171	170	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> A. x e. ran (,) ( `' ( Re o. F ) " x ) e. dom vol )
172		imassrn 5477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) C_ ran (,)
173	9, 172	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B C_ ran (,)
174		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
175	173, 174	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. ran (,) )
176		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. ran (,) ( `' ( Re o. F ) " x ) e. dom vol -> ( x e. ran (,) -> ( `' ( Re o. F ) " x ) e. dom vol ) )
177	171, 175, 176	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( `' ( Re o. F ) " x ) e. dom vol )
178	166	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F e. MblFn -> ( Im o. F ) e. MblFn )
179		ismbf 23397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Im o. F ) : dom F --> RR -> ( ( Im o. F ) e. MblFn <-> A. y e. ran (,) ( `' ( Im o. F ) " y ) e. dom vol ) )
180	149, 179	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F e. MblFn -> ( ( Im o. F ) e. MblFn <-> A. y e. ran (,) ( `' ( Im o. F ) " y ) e. dom vol ) )
181	178, 180	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. MblFn -> A. y e. ran (,) ( `' ( Im o. F ) " y ) e. dom vol )
182	181	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> A. y e. ran (,) ( `' ( Im o. F ) " y ) e. dom vol )
183		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. B )
184	173, 183	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. ran (,) )
185		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. ran (,) ( `' ( Im o. F ) " y ) e. dom vol -> ( y e. ran (,) -> ( `' ( Im o. F ) " y ) e. dom vol ) )
186	182, 184, 185	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( `' ( Im o. F ) " y ) e. dom vol )
187		inmbl 23310	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( `' ( Re o. F ) " x ) e. dom vol /\ ( `' ( Im o. F ) " y ) e. dom vol ) -> ( ( `' ( Re o. F ) " x ) i^i ( `' ( Im o. F ) " y ) ) e. dom vol )
188	177, 186, 187	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( `' ( Re o. F ) " x ) i^i ( `' ( Im o. F ) " y ) ) e. dom vol )
189	163, 188	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( `' F " ( G " ( x X. y ) ) ) e. dom vol )
190		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( x X. y ) -> ( G " w ) = ( G " ( x X. y ) ) )
191	190	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( x X. y ) -> ( `' F " ( G " w ) ) = ( `' F " ( G " ( x X. y ) ) ) )
192	191	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( x X. y ) -> ( ( `' F " ( G " w ) ) e. dom vol <-> ( `' F " ( G " ( x X. y ) ) ) e. dom vol ) )
193	189, 192	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. MblFn /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( w = ( x X. y ) -> ( `' F " ( G " w ) ) e. dom vol ) )
194	193	rexlimdvva 3038	. . . . . . . 8 |- ( F e. MblFn -> ( E. x e. B E. y e. B w = ( x X. y ) -> ( `' F " ( G " w ) ) e. dom vol ) )
195	107, 194	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( F e. MblFn -> ( w e. K -> ( `' F " ( G " w ) ) e. dom vol ) )
196	195	ralrimiv 2965	. . . . . 6 |- ( F e. MblFn -> A. w e. K ( `' F " ( G " w ) ) e. dom vol )
197		ssralv 3666	. . . . . 6 |- ( t C_ K -> ( A. w e. K ( `' F " ( G " w ) ) e. dom vol -> A. w e. t ( `' F " ( G " w ) ) e. dom vol ) )
198	196, 197	mpan9 486	. . . . 5 |- ( ( F e. MblFn /\ t C_ K ) -> A. w e. t ( `' F " ( G " w ) ) e. dom vol )
199	198	ad2ant2r 783	. . . 4 |- ( ( ( F e. MblFn /\ A e. J ) /\ ( t C_ K /\ ( `' G " A ) = U. t ) ) -> A. w e. t ( `' F " ( G " w ) ) e. dom vol )
200		iunmbl2 23325	. . . 4 |- ( ( t ~<_ NN /\ A. w e. t ( `' F " ( G " w ) ) e. dom vol ) -> U_ w e. t ( `' F " ( G " w ) ) e. dom vol )
201	104, 199, 200	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( F e. MblFn /\ A e. J ) /\ ( t C_ K /\ ( `' G " A ) = U. t ) ) -> U_ w e. t ( `' F " ( G " w ) ) e. dom vol )
202	45, 201	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( ( F e. MblFn /\ A e. J ) /\ ( t C_ K /\ ( `' G " A ) = U. t ) ) -> ( `' F " A ) e. dom vol )
203	27, 202	exlimddv 1863	1 |- ( ( F e. MblFn /\ A e. J ) -> ( `' F " A ) e. dom vol )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   <.cop 4183   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   Oncon0 5723   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   cardccrd 8761   CCcc 9934   RRcr 9935   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   NNcn 11020   QQcq 11788   (,)cioo 12175   Recre 13837   Imcim 13838   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   TopBasesctb 20749   Cn ccn 21028   tX ctx 21363   Homeochmeo 21556   volcvol 23232  MblFncmbf 23383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388

This theorem is referenced by:  mbfimaopn  23423