Theorem unbnn 8216

Description: Any unbounded subset of natural numbers is equinumerous to the set of all natural numbers. Part of the proof of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. See unbnn3 8556 for a stronger version without the first assumption. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
unbnn	|- ( ( om e. _V /\ A C_ om /\ A. x e. om E. y e. A x e. y ) -> A ~~ om )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem unbnn

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdomg 8001	. . . 4 |- ( om e. _V -> ( A C_ om -> A ~<_ om ) )
2	1	imp 445	. . 3 |- ( ( om e. _V /\ A C_ om ) -> A ~<_ om )
3	2	3adant3 1081	. 2 |- ( ( om e. _V /\ A C_ om /\ A. x e. om E. y e. A x e. y ) -> A ~<_ om )
4		simp1 1061	. . 3 |- ( ( om e. _V /\ A C_ om /\ A. x e. om E. y e. A x e. y ) -> om e. _V )
5		ssexg 4804	. . . . 5 |- ( ( A C_ om /\ om e. _V ) -> A e. _V )
6	5	ancoms 469	. . . 4 |- ( ( om e. _V /\ A C_ om ) -> A e. _V )
7	6	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( om e. _V /\ A C_ om /\ A. x e. om E. y e. A x e. y ) -> A e. _V )
8		eqid 2622	. . . . 5 |- ( rec ( ( z e. _V |-> |^| ( A \ suc z ) ) , |^| A ) |` om ) = ( rec ( ( z e. _V |-> |^| ( A \ suc z ) ) , |^| A ) |` om )
9	8	unblem4 8215	. . . 4 |- ( ( A C_ om /\ A. x e. om E. y e. A x e. y ) -> ( rec ( ( z e. _V |-> |^| ( A \ suc z ) ) , |^| A ) |` om ) : om -1-1-> A )
10	9	3adant1 1079	. . 3 |- ( ( om e. _V /\ A C_ om /\ A. x e. om E. y e. A x e. y ) -> ( rec ( ( z e. _V |-> |^| ( A \ suc z ) ) , |^| A ) |` om ) : om -1-1-> A )
11		f1dom2g 7973	. . 3 |- ( ( om e. _V /\ A e. _V /\ ( rec ( ( z e. _V |-> |^| ( A \ suc z ) ) , |^| A ) |` om ) : om -1-1-> A ) -> om ~<_ A )
12	4, 7, 10, 11	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( om e. _V /\ A C_ om /\ A. x e. om E. y e. A x e. y ) -> om ~<_ A )
13		sbth 8080	. 2 |- ( ( A ~<_ om /\ om ~<_ A ) -> A ~~ om )
14	3, 12, 13	syl2anc 693	1 |- ( ( om e. _V /\ A C_ om /\ A. x e. om E. y e. A x e. y ) -> A ~~ om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   suc csuc 5725   -1-1->wf1 5885   omcom 7065   reccrdg 7505   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-en 7956  df-dom 7957

This theorem is referenced by:  unbnn2  8217  isfinite2  8218  unbnn3  8556