Theorem unirnmapsn 39406

Description: Equality theorem for a subset of a set exponentiation, where the exponent is a singleton. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
unirnmapsn.A	|- ( ph -> A e. V )
unirnmapsn.b	|- ( ph -> B e. W )
unirnmapsn.C	|- C = { A }
unirnmapsn.x	|- ( ph -> X C_ ( B ^m C ) )

Assertion

Ref	Expression
unirnmapsn	|- ( ph -> X = ( ran U. X ^m C ) )

Proof of Theorem unirnmapsn

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnmapsn.C	. . . . 5 |- C = { A }
2		snex 4908	. . . . 5 |- { A } e. _V
3	1, 2	eqeltri 2697	. . . 4 |- C e. _V
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> C e. _V )
5		unirnmapsn.x	. . 3 |- ( ph -> X C_ ( B ^m C ) )
6	4, 5	unirnmap 39400	. 2 |- ( ph -> X C_ ( ran U. X ^m C ) )
7		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. ( ran U. X ^m C ) ) -> ph )
8		equid 1939	. . . . . . . . 9 |- g = g
9		rnuni 5544	. . . . . . . . . 10 |- ran U. X = U_ f e. X ran f
10	9	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 |- ( ran U. X ^m C ) = ( U_ f e. X ran f ^m C )
11	8, 10	eleq12i 2694	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ran U. X ^m C ) <-> g e. ( U_ f e. X ran f ^m C ) )
12	11	biimpi 206	. . . . . . 7 |- ( g e. ( ran U. X ^m C ) -> g e. ( U_ f e. X ran f ^m C ) )
13	12	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. ( ran U. X ^m C ) ) -> g e. ( U_ f e. X ran f ^m C ) )
14		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B ^m C ) e. _V )
15	14, 5	ssexd 4805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. _V )
16		rnexg 7098	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. X -> ran f e. _V )
17	16	rgen 2922	. . . . . . . . . . . 12 |- A. f e. X ran f e. _V
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. f e. X ran f e. _V )
19		iunexg 7143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. _V /\ A. f e. X ran f e. _V ) -> U_ f e. X ran f e. _V )
20	15, 18, 19	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U_ f e. X ran f e. _V )
21	20, 4	elmapd 7871	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( g e. ( U_ f e. X ran f ^m C ) <-> g : C --> U_ f e. X ran f ) )
22	21	biimpa 501	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. ( U_ f e. X ran f ^m C ) ) -> g : C --> U_ f e. X ran f )
23		unirnmapsn.A	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. V )
24		snidg 4206	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. V -> A e. { A } )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. { A } )
26	25, 1	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. C )
27	26	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. ( U_ f e. X ran f ^m C ) ) -> A e. C )
28	22, 27	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. ( U_ f e. X ran f ^m C ) ) -> ( g ` A ) e. U_ f e. X ran f )
29		eliun 4524	. . . . . . 7 |- ( ( g ` A ) e. U_ f e. X ran f <-> E. f e. X ( g ` A ) e. ran f )
30	28, 29	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. ( U_ f e. X ran f ^m C ) ) -> E. f e. X ( g ` A ) e. ran f )
31	7, 13, 30	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ g e. ( ran U. X ^m C ) ) -> E. f e. X ( g ` A ) e. ran f )
32		elmapfn 7880	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ran U. X ^m C ) -> g Fn C )
33	32	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. ( ran U. X ^m C ) ) -> g Fn C )
34		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. X /\ ( g ` A ) e. ran f ) -> ( g ` A ) e. ran f )
35	23	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. X /\ ( g ` A ) e. ran f ) -> A e. V )
36	1	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B ^m C ) = ( B ^m { A } )
37	5, 36	syl6sseq 3651	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> X C_ ( B ^m { A } ) )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> X C_ ( B ^m { A } ) )
39		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> f e. X )
40	38, 39	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> f e. ( B ^m { A } ) )
41		unirnmapsn.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> B e. W )
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> B e. W )
43	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> { A } e. _V )
44	42, 43	elmapd 7871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> ( f e. ( B ^m { A } ) <-> f : { A } --> B ) )
45	40, 44	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> f : { A } --> B )
46	45	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. X /\ ( g ` A ) e. ran f ) -> f : { A } --> B )
47	35, 46	rnsnf 39370	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. X /\ ( g ` A ) e. ran f ) -> ran f = { ( f ` A ) } )
48	34, 47	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. X /\ ( g ` A ) e. ran f ) -> ( g ` A ) e. { ( f ` A ) } )
49		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g ` A ) e. _V
50	49	elsn 4192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g ` A ) e. { ( f ` A ) } <-> ( g ` A ) = ( f ` A ) )
51	48, 50	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. X /\ ( g ` A ) e. ran f ) -> ( g ` A ) = ( f ` A ) )
52	51	3adant1r 1319	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g Fn C ) /\ f e. X /\ ( g ` A ) e. ran f ) -> ( g ` A ) = ( f ` A ) )
53	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g Fn C ) -> A e. V )
54	53	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g Fn C ) /\ f e. X /\ ( g ` A ) e. ran f ) -> A e. V )
55		simp1r 1086	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g Fn C ) /\ f e. X /\ ( g ` A ) e. ran f ) -> g Fn C )
56	40, 36	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> f e. ( B ^m C ) )
57		elmapfn 7880	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. ( B ^m C ) -> f Fn C )
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> f Fn C )
59	58	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ g Fn C ) /\ f e. X ) -> f Fn C )
60	59	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g Fn C ) /\ f e. X /\ ( g ` A ) e. ran f ) -> f Fn C )
61	54, 1, 55, 60	fsneq 39398	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g Fn C ) /\ f e. X /\ ( g ` A ) e. ran f ) -> ( g = f <-> ( g ` A ) = ( f ` A ) ) )
62	52, 61	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g Fn C ) /\ f e. X /\ ( g ` A ) e. ran f ) -> g = f )
63		simp2 1062	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g Fn C ) /\ f e. X /\ ( g ` A ) e. ran f ) -> f e. X )
64	62, 63	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ g Fn C ) /\ f e. X /\ ( g ` A ) e. ran f ) -> g e. X )
65	64	3exp 1264	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g Fn C ) -> ( f e. X -> ( ( g ` A ) e. ran f -> g e. X ) ) )
66	7, 33, 65	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. ( ran U. X ^m C ) ) -> ( f e. X -> ( ( g ` A ) e. ran f -> g e. X ) ) )
67	66	rexlimdv 3030	. . . . 5 |- ( ( ph /\ g e. ( ran U. X ^m C ) ) -> ( E. f e. X ( g ` A ) e. ran f -> g e. X ) )
68	31, 67	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ g e. ( ran U. X ^m C ) ) -> g e. X )
69	68	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. g e. ( ran U. X ^m C ) g e. X )
70		dfss3 3592	. . 3 |- ( ( ran U. X ^m C ) C_ X <-> A. g e. ( ran U. X ^m C ) g e. X )
71	69, 70	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> ( ran U. X ^m C ) C_ X )
72	6, 71	eqssd 3620	1 |- ( ph -> X = ( ran U. X ^m C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   U.cuni 4436   U_ciun 4520   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859

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