Theorem wemapso2 8458

Description: An alternative to having a well-order on R in wemapso 8456 is to restrict the function set to finitely-supported functions. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
wemapso.t	|- T = { <. x , y >. | E. z e. A ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
wemapso2.u	|- U = { x e. ( B ^m A ) | x finSupp Z }

Assertion

Ref	Expression
wemapso2	|- ( ( A e. V /\ R Or A /\ S Or B ) -> T Or U )

Distinct variable groups:   x, B   x, w, y, z, A   w, R, x, y, z   w, S, x, y, z   x, Z

Allowed substitution hints:   B( y, z, w)   T( x, y, z, w)   U( x, y, z, w)   V( x, y, z, w)   Z( y, z, w)

Proof of Theorem wemapso2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wemapso.t	. . . 4 |- T = { <. x , y >. | E. z e. A ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
2		wemapso2.u	. . . 4 |- U = { x e. ( B ^m A ) | x finSupp Z }
3	1, 2	wemapso2lem 8457	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ R Or A /\ S Or B ) /\ Z e. _V ) -> T Or U )
4	3	expcom 451	. 2 |- ( Z e. _V -> ( ( A e. V /\ R Or A /\ S Or B ) -> T Or U ) )
5		so0 5068	. . . 4 |- T Or (/)
6		relfsupp 8277	. . . . . . . . . 10 |- Rel finSupp
7	6	brrelex2i 5159	. . . . . . . . 9 |- ( x finSupp Z -> Z e. _V )
8	7	con3i 150	. . . . . . . 8 |- ( -. Z e. _V -> -. x finSupp Z )
9	8	ralrimivw 2967	. . . . . . 7 |- ( -. Z e. _V -> A. x e. ( B ^m A ) -. x finSupp Z )
10		rabeq0 3957	. . . . . . 7 |- ( { x e. ( B ^m A ) | x finSupp Z } = (/) <-> A. x e. ( B ^m A ) -. x finSupp Z )
11	9, 10	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( -. Z e. _V -> { x e. ( B ^m A ) | x finSupp Z } = (/) )
12	2, 11	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( -. Z e. _V -> U = (/) )
13		soeq2 5055	. . . . 5 |- ( U = (/) -> ( T Or U <-> T Or (/) ) )
14	12, 13	syl 17	. . . 4 |- ( -. Z e. _V -> ( T Or U <-> T Or (/) ) )
15	5, 14	mpbiri 248	. . 3 |- ( -. Z e. _V -> T Or U )
16	15	a1d 25	. 2 |- ( -. Z e. _V -> ( ( A e. V /\ R Or A /\ S Or B ) -> T Or U ) )
17	4, 16	pm2.61i 176	1 |- ( ( A e. V /\ R Or A /\ S Or B ) -> T Or U )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   {copab 4712   Or wor 5034   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   finSupp cfsupp 8275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-fin 7959  df-fsupp 8276

This theorem is referenced by:  oemapso  8579