Theorem oemapso 8579

Description: The relation T is a strict order on S (a corollary of wemapso2 8458). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	|- S = dom ( A CNF B )
cantnfs.a	|- ( ph -> A e. On )
cantnfs.b	|- ( ph -> B e. On )
oemapval.t	|- T = { <. x , y >. | E. z e. B ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
oemapso	|- ( ph -> T Or S )

Distinct variable groups:   x, w, y, z, B   w, A, x, y, z   x, S, y, z   ph, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( w)   S( w)   T( x, y, z, w)

Proof of Theorem oemapso

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.b	. . 3 |- ( ph -> B e. On )
2		eloni 5733	. . . . 5 |- ( B e. On -> Ord B )
3		ordwe 5736	. . . . 5 |- ( Ord B -> _E We B )
4		weso 5105	. . . . 5 |- ( _E We B -> _E Or B )
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. . . 4 |- ( ph -> _E Or B )
6		cnvso 5674	. . . 4 |- ( _E Or B <-> `' _E Or B )
7	5, 6	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> `' _E Or B )
8		cantnfs.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. On )
9		eloni 5733	. . . 4 |- ( A e. On -> Ord A )
10		ordwe 5736	. . . 4 |- ( Ord A -> _E We A )
11		weso 5105	. . . 4 |- ( _E We A -> _E Or A )
12	8, 9, 10, 11	4syl 19	. . 3 |- ( ph -> _E Or A )
13		oemapval.t	. . . . 5 |- T = { <. x , y >. | E. z e. B ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
14		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( y ` z ) e. _V
15	14	epelc 5031	. . . . . . . 8 |- ( ( x ` z ) _E ( y ` z ) <-> ( x ` z ) e. ( y ` z ) )
16		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- w e. _V
17		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. _V
18	16, 17	brcnv 5305	. . . . . . . . . . 11 |- ( w `' _E z <-> z _E w )
19		epel 5032	. . . . . . . . . . 11 |- ( z _E w <-> z e. w )
20	18, 19	bitri 264	. . . . . . . . . 10 |- ( w `' _E z <-> z e. w )
21	20	imbi1i 339	. . . . . . . . 9 |- ( ( w `' _E z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) )
22	21	ralbii 2980	. . . . . . . 8 |- ( A. w e. B ( w `' _E z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) )
23	15, 22	anbi12i 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( x ` z ) _E ( y ` z ) /\ A. w e. B ( w `' _E z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) )
24	23	rexbii 3041	. . . . . 6 |- ( E. z e. B ( ( x ` z ) _E ( y ` z ) /\ A. w e. B ( w `' _E z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> E. z e. B ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) )
25	24	opabbii 4717	. . . . 5 |- { <. x , y >. | E. z e. B ( ( x ` z ) _E ( y ` z ) /\ A. w e. B ( w `' _E z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) } = { <. x , y >. | E. z e. B ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
26	13, 25	eqtr4i 2647	. . . 4 |- T = { <. x , y >. | E. z e. B ( ( x ` z ) _E ( y ` z ) /\ A. w e. B ( w `' _E z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
27		breq1 4656	. . . . 5 |- ( g = x -> ( g finSupp (/) <-> x finSupp (/) ) )
28	27	cbvrabv 3199	. . . 4 |- { g e. ( A ^m B ) | g finSupp (/) } = { x e. ( A ^m B ) | x finSupp (/) }
29	26, 28	wemapso2 8458	. . 3 |- ( ( B e. On /\ `' _E Or B /\ _E Or A ) -> T Or { g e. ( A ^m B ) | g finSupp (/) } )
30	1, 7, 12, 29	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> T Or { g e. ( A ^m B ) | g finSupp (/) } )
31		cantnfs.s	. . . 4 |- S = dom ( A CNF B )
32		eqid 2622	. . . . 5 |- { g e. ( A ^m B ) | g finSupp (/) } = { g e. ( A ^m B ) | g finSupp (/) }
33	32, 8, 1	cantnfdm 8561	. . . 4 |- ( ph -> dom ( A CNF B ) = { g e. ( A ^m B ) | g finSupp (/) } )
34	31, 33	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ph -> S = { g e. ( A ^m B ) | g finSupp (/) } )
35		soeq2 5055	. . 3 |- ( S = { g e. ( A ^m B ) | g finSupp (/) } -> ( T Or S <-> T Or { g e. ( A ^m B ) | g finSupp (/) } ) )
36	34, 35	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( T Or S <-> T Or { g e. ( A ^m B ) | g finSupp (/) } ) )
37	30, 36	mpbird 247	1 |- ( ph -> T Or S )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   {copab 4712   _E cep 5028   Or wor 5034   We wwe 5072   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   Ord word 5722   Oncon0 5723   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   finSupp cfsupp 8275   CNF ccnf 8558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-cnf 8559

This theorem is referenced by:  cantnf  8590