Theorem wlkp1lem5 26574

Description: Lemma for wlkp1 26578. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkp1.v	|- V = (Vtx ` G )
wlkp1.i	|- I = (iEdg ` G )
wlkp1.f	|- ( ph -> Fun I )
wlkp1.a	|- ( ph -> I e. Fin )
wlkp1.b	|- ( ph -> B e. _V )
wlkp1.c	|- ( ph -> C e. V )
wlkp1.d	|- ( ph -> -. B e. dom I )
wlkp1.w	|- ( ph -> F (Walks ` G ) P )
wlkp1.n	|- N = ( # ` F )
wlkp1.e	|- ( ph -> E e. (Edg ` G ) )
wlkp1.x	|- ( ph -> { ( P ` N ) , C } C_ E )
wlkp1.u	|- ( ph -> (iEdg ` S ) = ( I u. { <. B , E >. } ) )
wlkp1.h	|- H = ( F u. { <. N , B >. } )
wlkp1.q	|- Q = ( P u. { <. ( N + 1 ) , C >. } )
wlkp1.s	|- ( ph -> (Vtx ` S ) = V )

Assertion

Ref	Expression
wlkp1lem5	|- ( ph -> A. k e. ( 0 ... N ) ( Q ` k ) = ( P ` k ) )

Distinct variable group:   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)   P( k)   Q( k)   S( k)   E( k)   F( k)   G( k)   H( k)   I( k)   N( k)   V( k)

Proof of Theorem wlkp1lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkp1.q	. . . 4 |- Q = ( P u. { <. ( N + 1 ) , C >. } )
2	1	fveq1i 6192	. . 3 |- ( Q ` k ) = ( ( P u. { <. ( N + 1 ) , C >. } ) ` k )
3		fzp1nel 12424	. . . . . . . . 9 |- -. ( N + 1 ) e. ( 0 ... N )
4		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( N + 1 ) -> ( k e. ( 0 ... N ) <-> ( N + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
5	4	notbid 308	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( N + 1 ) -> ( -. k e. ( 0 ... N ) <-> -. ( N + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
6	5	eqcoms 2630	. . . . . . . . 9 |- ( ( N + 1 ) = k -> ( -. k e. ( 0 ... N ) <-> -. ( N + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
7	3, 6	mpbiri 248	. . . . . . . 8 |- ( ( N + 1 ) = k -> -. k e. ( 0 ... N ) )
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) = k -> -. k e. ( 0 ... N ) ) )
9	8	con2d 129	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. ( 0 ... N ) -> -. ( N + 1 ) = k ) )
10	9	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> -. ( N + 1 ) = k )
11	10	neqned 2801	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( N + 1 ) =/= k )
12		fvunsn 6445	. . . 4 |- ( ( N + 1 ) =/= k -> ( ( P u. { <. ( N + 1 ) , C >. } ) ` k ) = ( P ` k ) )
13	11, 12	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( P u. { <. ( N + 1 ) , C >. } ) ` k ) = ( P ` k ) )
14	2, 13	syl5eq 2668	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( Q ` k ) = ( P ` k ) )
15	14	ralrimiva 2966	1 |- ( ph -> A. k e. ( 0 ... N ) ( Q ` k ) = ( P ` k ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   Fun wfun 5882   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   ...cfz 12326   #chash 13117  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  Edgcedg 25939  Walkscwlks 26492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-z 11378  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  wlkp1lem6  26575  wlkp1lem7  26576  wlkp1lem8  26577  eupth2eucrct  27077