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| Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > xlemul1a | Structured version Visualization version Unicode version | ||
| Description: Extended real version of lemul1a 10877. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| xlemul1a |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}  
      |
| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | 0xr 10086 |
. . . . . 6
| |
| 2 | simpr 477 |
. . . . . 6
| |
| 3 | xrleloe 11977 |
. . . . . 6
   | |
| 4 | 1, 2, 3 | sylancr 695 |
. . . . 5
|
| 5 | simpllr 799 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 6 | elxr 11950 |
. . . . . . . . . . . 12
  | |
| 7 | 5, 6 | sylib 208 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 8 | simplrr 801 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 9 | simprll 802 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 10 | simprlr 803 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 11 | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 12 | simplrl 800 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 13 | lemul1 10875 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 14 | 9, 10, 11, 12, 13 | syl112anc 1330 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 15 | 8, 14 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 16 | rexmul 12101 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 17 | 9, 11, 16 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 18 | rexmul 12101 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 19 | 10, 11, 18 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 20 | 15, 17, 19 | 3brtr4d 4685 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 21 | 20 | expr 643 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 22 | simprl 794 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 23 | 0re 10040 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 24 | lttri4 10122 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 25 | 22, 23, 24 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 26 | simplll 798 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 27 | 26 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 28 | xmulpnf1n 12108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 29 | 27, 28 | sylan 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 30 | simpllr 799 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 31 | 30 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 32 | 31 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 33 | pnfxr 10092 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 34 | xmulcl 12103 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 35 | 32, 33, 34 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 36 | mnfle 11969 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 37 | 35, 36 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 38 | 29, 37 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 39 | 38 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 40 | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 41 | xmul02 12098 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 42 | 33, 41 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 43 | 40, 42 | syl6eq 2672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 44 | 43 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 45 | simplrr 801 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 46 | breq1 4656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 47 | 45, 46 | syl5ibcom 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 48 | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 49 | leloe 10124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 50 | 23, 48, 49 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 51 | 47, 50 | sylibd 229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 52 | 51 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 53 | pnfge 11964 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 54 | 1, 53 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 55 | xmulpnf1 12104 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 56 | 31, 55 | sylan 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 57 | 54, 56 | syl5breqr 4691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 58 | xrleid 11983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 59 | 1, 58 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 60 | 59, 42 | breqtrri 4680 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 61 | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 62 | 61 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 63 | 60, 62 | syl5breq 4690 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 64 | 57, 63 | jaodan 826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 65 | 52, 64 | syldan 487 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 66 | 44, 65 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 67 | 66 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 68 | pnfge 11964 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 69 | 33, 68 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 70 | 26 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 71 | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 72 | xmulpnf1 12104 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 73 | 70, 71, 72 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 74 | 30 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 75 | ltletr 10129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 76 | 23, 75 | mp3an1 1411 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 77 | 76 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 78 | 45, 77 | mpan2d 710 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 79 | 78 | impr 649 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 80 | 74, 79, 55 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 81 | 73, 80 | breq12d 4666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 82 | 69, 81 | mpbiri 248 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 83 | 82 | expr 643 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 84 | 39, 67, 83 | 3jaod 1392 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 85 | 25, 84 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 86 | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 87 | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 88 | 86, 87 | breq12d 4666 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 89 | 85, 88 | syl5ibrcom 237 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 90 | nltmnf 11963 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 | |
| 91 | 1, 90 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 92 | breq2 4657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 93 | 91, 92 | mtbiri 317 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 94 | 93 | con2i 134 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 95 | 94 | ad2antrl 764 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 96 | 95 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 97 | 96 | pm2.21d 118 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 98 | 21, 89, 97 | 3jaod 1392 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 99 | 7, 98 | mpd 15 |
. . . . . . . . . 10
|
| 100 | 99 | anassrs 680 |
. . . . . . . . 9
|
| 101 | xmulcl 12103 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 102 | 101 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 103 | 102 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 104 | pnfge 11964 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 105 | 103, 104 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 106 | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 107 | xmulpnf2 12105 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 108 | 107 | ad2ant2lr 784 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 109 | 106, 108 | sylan9eqr 2678 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 110 | 105, 109 | breqtrrd 4681 |
. . . . . . . . . 10
|
| 111 | 110 | adantlr 751 |
. . . . . . . . 9
|
| 112 | simplrr 801 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 113 | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 114 | 26 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 115 | mnfle 11969 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 116 | 114, 115 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 117 | 113, 116 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 118 | xrletri3 11985 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 119 | 118 | ad3antrrr 766 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 120 | 112, 117, 119 | mpbir2and 957 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 121 | 120 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 122 | xmulcl 12103 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 123 | 122 | adantll 750 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 124 | 123 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 125 | xrleid 11983 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 126 | 124, 125 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 127 | 121, 126 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . . . 10
|
| 128 | 127 | adantlr 751 |
. . . . . . . . 9
|
| 129 | elxr 11950 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 130 | 30, 129 | sylib 208 |
. . . . . . . . . 10
|
| 131 | 130 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
|
| 132 | 100, 111, 128, 131 | mpjao3dan 1395 |
. . . . . . . 8
|
| 133 | simplrr 801 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 134 | 30 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 135 | pnfge 11964 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 136 | 134, 135 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 137 | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 138 | 136, 137 | breqtrrd 4681 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 139 | 118 | ad3antrrr 766 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 140 | 133, 138, 139 | mpbir2and 957 |
. . . . . . . . . 10
|
| 141 | 140 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . 9
|
| 142 | 123, 125 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
|
| 143 | 142 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . 9
|
| 144 | 141, 143 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . 8
|
| 145 | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 146 | xmulmnf2 12107 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 147 | 146 | ad2ant2lr 784 |
. . . . . . . . . 10
|
| 148 | 145, 147 | sylan9eqr 2678 |
. . . . . . . . 9
|
| 149 | 123 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . 10
|
| 150 | mnfle 11969 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 151 | 149, 150 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
|
| 152 | 148, 151 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . 8
|
| 153 | elxr 11950 |
. . . . . . . . 9
| |
| 154 | 26, 153 | sylib 208 |
. . . . . . . 8
|
| 155 | 132, 144, 152, 154 | mpjao3dan 1395 |
. . . . . . 7
|
| 156 | 155 | exp32 631 |
. . . . . 6
|
| 157 | xmul01 12097 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 158 | 157 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . 10
|
| 159 | xmul01 12097 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 160 | 159 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . 10
|
| 161 | 158, 160 | breq12d 4666 |
. . . . . . . . 9
|
| 162 | 59, 161 | mpbiri 248 |
. . . . . . . 8
|
| 163 | oveq2 6658 |
. . . . . . . . 9
| |
| 164 | oveq2 6658 |
. . . . . . . . 9
| |
| 165 | 163, 164 | breq12d 4666 |
. . . . . . . 8
|
| 166 | 162, 165 | syl5ibcom 235 |
. . . . . . 7
|
| 167 | 166 | a1dd 50 |
. . . . . 6
|
| 168 | 156, 167 | jaod 395 |
. . . . 5
|
| 169 | 4, 168 | sylbid 230 |
. . . 4
|
| 170 | 169 | expimpd 629 |
. . 3
|
| 171 | 170 | 3impia 1261 |
. 2
|
| 172 | 171 | imp 445 |
1
|
| Colors of variables: wff setvar class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wb 196 wo 383 wa 384 w3o 1036 w3a 1037 wceq 1483 wcel 1990 class class class wbr 4653
(class class class)co 6650 cr 9935 cc0 9936 cmul 9941 cpnf 10071 cmnf 10072 cxr 10073 clt 10074 cle 10075 cxmu 11945 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-po 5035 df-so 5036 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-xneg 11946 df-xmul 11948 |
| This theorem is referenced by: xlemul2a 12119 xlemul1 12120 nmoi2 22534 esumcst 30125 |
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