Theorem zlmodzxzldeplem4 42292

Description: Lemma 4 for zlmodzxzldep 42293. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	|- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
zlmodzxzldep.a	|- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
zlmodzxzldep.b	|- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
zlmodzxzldeplem.f	|- F = { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. }

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem4	|- E. y e. { A , B } ( F ` y ) =/= 0

Distinct variable groups:   y, A   y, B   y, F

Allowed substitution hint:   Z( y)

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmodzxzldep.a	. . 3 |- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
2		prex 4909	. . 3 |- { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. _V
3	1, 2	eqeltri 2697	. 2 |- A e. _V
4		zlmodzxzldep.b	. . 3 |- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
5		prex 4909	. . 3 |- { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. _V
6	4, 5	eqeltri 2697	. 2 |- B e. _V
7		2ne0 11113	. . . . 5 |- 2 =/= 0
8		zlmodzxzldeplem.f	. . . . . . . 8 |- F = { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. }
9	8	fveq1i 6192	. . . . . . 7 |- ( F ` A ) = ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` A )
10		zlmodzxzldep.z	. . . . . . . . 9 |- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
11	10, 1, 4	zlmodzxzldeplem 42287	. . . . . . . 8 |- A =/= B
12		2ex 11092	. . . . . . . . 9 |- 2 e. _V
13	3, 12	fvpr1 6456	. . . . . . . 8 |- ( A =/= B -> ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` A ) = 2 )
14	11, 13	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` A ) = 2 )
15	9, 14	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( F ` A ) = 2 )
16	15	neeq1d 2853	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( ( F ` A ) =/= 0 <-> 2 =/= 0 ) )
17	7, 16	mpbiri 248	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( F ` A ) =/= 0 )
18	17	orcd 407	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( ( F ` A ) =/= 0 \/ ( F ` B ) =/= 0 ) )
19		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( y = A -> ( F ` y ) = ( F ` A ) )
20	19	neeq1d 2853	. . . 4 |- ( y = A -> ( ( F ` y ) =/= 0 <-> ( F ` A ) =/= 0 ) )
21		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( y = B -> ( F ` y ) = ( F ` B ) )
22	21	neeq1d 2853	. . . 4 |- ( y = B -> ( ( F ` y ) =/= 0 <-> ( F ` B ) =/= 0 ) )
23	20, 22	rexprg 4235	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( E. y e. { A , B } ( F ` y ) =/= 0 <-> ( ( F ` A ) =/= 0 \/ ( F ` B ) =/= 0 ) ) )
24	18, 23	mpbird 247	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> E. y e. { A , B } ( F ` y ) =/= 0 )
25	3, 6, 24	mp2an 708	1 |- E. y e. { A , B } ( F ` y ) =/= 0

Syntax hints:   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   {cpr 4179   <.cop 4183   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   -ucneg 10267   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   6c6 11074  ℤ_ringzring 19818   freeLMod cfrlm 20090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-2 11079  df-3 11080

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  42293