Theorem zlmodzxzldeplem3 42291

Description: Lemma 3 for zlmodzxzldep 42293. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	|- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
zlmodzxzldep.a	|- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
zlmodzxzldep.b	|- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
zlmodzxzldeplem.f	|- F = { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. }

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem3	|- ( F ( linC ` Z ) { A , B } ) = ( 0g ` Z )

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem3

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmodzxzldep.z	. . . 4 |- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
2		ovex 6678	. . . 4 |- (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2697	. . 3 |- Z e. _V
4		zlmodzxzldep.a	. . . . 5 |- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
5		zlmodzxzldep.b	. . . . 5 |- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
6		zlmodzxzldeplem.f	. . . . 5 |- F = { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. }
7	1, 4, 5, 6	zlmodzxzldeplem1 42289	. . . 4 |- F e. ( ZZ ^m { A , B } )
8	1	zlmodzxzlmod 42132	. . . . . . . 8 |- ( Z e. LMod /\ ℤring = (Scalar ` Z ) )
9		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( Z e. LMod /\ ℤring = (Scalar ` Z ) ) -> ℤring = (Scalar ` Z ) )
10	9	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( Z e. LMod /\ ℤring = (Scalar ` Z ) ) -> (Scalar ` Z ) = ℤring )
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- (Scalar ` Z ) = ℤring
12	11	fveq2i 6194	. . . . . 6 |- ( Base ` (Scalar ` Z ) ) = ( Base ` ℤring )
13		zringbas 19824	. . . . . . 7 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
14	13	eqcomi 2631	. . . . . 6 |- ( Base ` ℤring ) = ZZ
15	12, 14	eqtri 2644	. . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` Z ) ) = ZZ
16	15	oveq1i 6660	. . . 4 |- ( ( Base ` (Scalar ` Z ) ) ^m { A , B } ) = ( ZZ ^m { A , B } )
17	7, 16	eleqtrri 2700	. . 3 |- F e. ( ( Base ` (Scalar ` Z ) ) ^m { A , B } )
18		3z 11410	. . . . . 6 |- 3 e. ZZ
19		6nn 11189	. . . . . . 7 |- 6 e. NN
20	19	nnzi 11401	. . . . . 6 |- 6 e. ZZ
21	1	zlmodzxzel 42133	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 6 e. ZZ ) -> { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. ( Base ` Z ) )
22	18, 20, 21	mp2an 708	. . . . 5 |- { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. ( Base ` Z )
23		2z 11409	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
24		4z 11411	. . . . . 6 |- 4 e. ZZ
25	1	zlmodzxzel 42133	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. ( Base ` Z ) )
26	23, 24, 25	mp2an 708	. . . . 5 |- { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. ( Base ` Z )
27	4	eleq1i 2692	. . . . . 6 |- ( A e. ( Base ` Z ) <-> { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. ( Base ` Z ) )
28	5	eleq1i 2692	. . . . . 6 |- ( B e. ( Base ` Z ) <-> { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. ( Base ` Z ) )
29	27, 28	anbi12i 733	. . . . 5 |- ( ( A e. ( Base ` Z ) /\ B e. ( Base ` Z ) ) <-> ( { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. ( Base ` Z ) /\ { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. ( Base ` Z ) ) )
30	22, 26, 29	mpbir2an 955	. . . 4 |- ( A e. ( Base ` Z ) /\ B e. ( Base ` Z ) )
31		prelpwi 4915	. . . 4 |- ( ( A e. ( Base ` Z ) /\ B e. ( Base ` Z ) ) -> { A , B } e. ~P ( Base ` Z ) )
32	30, 31	ax-mp 5	. . 3 |- { A , B } e. ~P ( Base ` Z )
33		lincval 42198	. . 3 |- ( ( Z e. _V /\ F e. ( ( Base ` (Scalar ` Z ) ) ^m { A , B } ) /\ { A , B } e. ~P ( Base ` Z ) ) -> ( F ( linC ` Z ) { A , B } ) = ( Z gsumg ( x e. { A , B } |-> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) ) ) )
34	3, 17, 32, 33	mp3an 1424	. 2 |- ( F ( linC ` Z ) { A , B } ) = ( Z gsumg ( x e. { A , B } |-> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) ) )
35		lmodcmn 18911	. . . . 5 |- ( Z e. LMod -> Z e. CMnd )
36	35	adantr 481	. . . 4 |- ( ( Z e. LMod /\ ℤring = (Scalar ` Z ) ) -> Z e. CMnd )
37	8, 36	ax-mp 5	. . 3 |- Z e. CMnd
38		prex 4909	. . . . 5 |- { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. _V
39	4, 38	eqeltri 2697	. . . 4 |- A e. _V
40		prex 4909	. . . . 5 |- { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. _V
41	5, 40	eqeltri 2697	. . . 4 |- B e. _V
42	1, 4, 5	zlmodzxzldeplem 42287	. . . 4 |- A =/= B
43	39, 41, 42	3pm3.2i 1239	. . 3 |- ( A e. _V /\ B e. _V /\ A =/= B )
44	8	simpli 474	. . . . 5 |- Z e. LMod
45		elmapi 7879	. . . . . . 7 |- ( F e. ( ZZ ^m { A , B } ) -> F : { A , B } --> ZZ )
46	39	prid1 4297	. . . . . . . 8 |- A e. { A , B }
47		ffvelrn 6357	. . . . . . . 8 |- ( ( F : { A , B } --> ZZ /\ A e. { A , B } ) -> ( F ` A ) e. ZZ )
48	46, 47	mpan2 707	. . . . . . 7 |- ( F : { A , B } --> ZZ -> ( F ` A ) e. ZZ )
49	7, 45, 48	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( F ` A ) e. ZZ
50	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ℤring = (Scalar ` Z )
51	50	eqcomi 2631	. . . . . . . 8 |- (Scalar ` Z ) = ℤring
52	51	fveq2i 6194	. . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` Z ) ) = ( Base ` ℤring )
53	52, 14	eqtri 2644	. . . . . 6 |- ( Base ` (Scalar ` Z ) ) = ZZ
54	49, 53	eleqtrri 2700	. . . . 5 |- ( F ` A ) e. ( Base ` (Scalar ` Z ) )
55	4, 22	eqeltri 2697	. . . . 5 |- A e. ( Base ` Z )
56		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` Z ) = ( Base ` Z )
57		eqid 2622	. . . . . 6 |- (Scalar ` Z ) = (Scalar ` Z )
58		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( .s ` Z ) = ( .s ` Z )
59		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` (Scalar ` Z ) ) = ( Base ` (Scalar ` Z ) )
60	56, 57, 58, 59	lmodvscl 18880	. . . . 5 |- ( ( Z e. LMod /\ ( F ` A ) e. ( Base ` (Scalar ` Z ) ) /\ A e. ( Base ` Z ) ) -> ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) e. ( Base ` Z ) )
61	44, 54, 55, 60	mp3an 1424	. . . 4 |- ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) e. ( Base ` Z )
62	41	prid2 4298	. . . . . . . 8 |- B e. { A , B }
63		ffvelrn 6357	. . . . . . . 8 |- ( ( F : { A , B } --> ZZ /\ B e. { A , B } ) -> ( F ` B ) e. ZZ )
64	62, 63	mpan2 707	. . . . . . 7 |- ( F : { A , B } --> ZZ -> ( F ` B ) e. ZZ )
65	7, 45, 64	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( F ` B ) e. ZZ
66	65, 53	eleqtrri 2700	. . . . 5 |- ( F ` B ) e. ( Base ` (Scalar ` Z ) )
67	5, 26	eqeltri 2697	. . . . 5 |- B e. ( Base ` Z )
68	56, 57, 58, 59	lmodvscl 18880	. . . . 5 |- ( ( Z e. LMod /\ ( F ` B ) e. ( Base ` (Scalar ` Z ) ) /\ B e. ( Base ` Z ) ) -> ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) e. ( Base ` Z ) )
69	44, 66, 67, 68	mp3an 1424	. . . 4 |- ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) e. ( Base ` Z )
70	61, 69	pm3.2i 471	. . 3 |- ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) e. ( Base ` Z ) /\ ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) e. ( Base ` Z ) )
71		eqid 2622	. . . 4 |- ( +g ` Z ) = ( +g ` Z )
72		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( x = A -> ( F ` x ) = ( F ` A ) )
73		id 22	. . . . 5 |- ( x = A -> x = A )
74	72, 73	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) = ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) )
75		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( x = B -> ( F ` x ) = ( F ` B ) )
76		id 22	. . . . 5 |- ( x = B -> x = B )
77	75, 76	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) = ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) )
78	56, 71, 74, 77	gsumpr 42139	. . 3 |- ( ( Z e. CMnd /\ ( A e. _V /\ B e. _V /\ A =/= B ) /\ ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) e. ( Base ` Z ) /\ ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) e. ( Base ` Z ) ) ) -> ( Z gsumg ( x e. { A , B } |-> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) ) ) = ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) ) )
79	37, 43, 70, 78	mp3an 1424	. 2 |- ( Z gsumg ( x e. { A , B } |-> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) ) ) = ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) )
80	6	fveq1i 6192	. . . . . 6 |- ( F ` A ) = ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` A )
81		2ex 11092	. . . . . . . 8 |- 2 e. _V
82	39, 81	fvpr1 6456	. . . . . . 7 |- ( A =/= B -> ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` A ) = 2 )
83	42, 82	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` A ) = 2
84	80, 83	eqtri 2644	. . . . 5 |- ( F ` A ) = 2
85	84	oveq1i 6660	. . . 4 |- ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) = ( 2 ( .s ` Z ) A )
86	6	fveq1i 6192	. . . . . 6 |- ( F ` B ) = ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` B )
87		negex 10279	. . . . . . . 8 |- -u 3 e. _V
88	41, 87	fvpr2 6457	. . . . . . 7 |- ( A =/= B -> ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` B ) = -u 3 )
89	42, 88	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` B ) = -u 3
90	86, 89	eqtri 2644	. . . . 5 |- ( F ` B ) = -u 3
91	90	oveq1i 6660	. . . 4 |- ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) = ( -u 3 ( .s ` Z ) B )
92	85, 91	oveq12i 6662	. . 3 |- ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) ) = ( ( 2 ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( -u 3 ( .s ` Z ) B ) )
93		eqid 2622	. . . . . 6 |- { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. } = { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. }
94	1, 93	zlmodzxz0 42134	. . . . 5 |- { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. } = ( 0g ` Z )
95	94	eqcomi 2631	. . . 4 |- ( 0g ` Z ) = { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. }
96	1, 4, 5, 95, 71, 58	zlmodzxzequap 42288	. . 3 |- ( ( 2 ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( -u 3 ( .s ` Z ) B ) ) = ( 0g ` Z )
97	92, 96	eqtri 2644	. 2 |- ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) ) = ( 0g ` Z )
98	34, 79, 97	3eqtri 2648	1 |- ( F ( linC ` Z ) { A , B } ) = ( 0g ` Z )

Syntax hints:   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   ~Pcpw 4158   {cpr 4179   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   0cc0 9936   1c1 9937   -ucneg 10267   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   6c6 11074   ZZcz 11377   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101  CMndccmn 18193   LModclmod 18863  ℤ_ringzring 19818   freeLMod cfrlm 20090   linC clinc 42193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-linc 42195

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  42293