Theorem zlmodzxzldeplem 42287

Description: A and B are not equal. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	|- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
zlmodzxzldep.a	|- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
zlmodzxzldep.b	|- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem	|- A =/= B

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 4932	. . . . 5 |- <. 0 , 3 >. e. _V
2		opex 4932	. . . . 5 |- <. 1 , 6 >. e. _V
3	1, 2	pm3.2i 471	. . . 4 |- ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V )
4		opex 4932	. . . . 5 |- <. 0 , 2 >. e. _V
5		opex 4932	. . . . 5 |- <. 1 , 4 >. e. _V
6	4, 5	pm3.2i 471	. . . 4 |- ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V )
7	3, 6	pm3.2i 471	. . 3 |- ( ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V ) /\ ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V ) )
8		2re 11090	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
9		2lt3 11195	. . . . . . . 8 |- 2 < 3
10	8, 9	gtneii 10149	. . . . . . 7 |- 3 =/= 2
11	10	olci 406	. . . . . 6 |- ( 0 =/= 0 \/ 3 =/= 2 )
12		c0ex 10034	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
13		3ex 11096	. . . . . . 7 |- 3 e. _V
14	12, 13	opthne 4951	. . . . . 6 |- ( <. 0 , 3 >. =/= <. 0 , 2 >. <-> ( 0 =/= 0 \/ 3 =/= 2 ) )
15	11, 14	mpbir 221	. . . . 5 |- <. 0 , 3 >. =/= <. 0 , 2 >.
16		0ne1 11088	. . . . . . 7 |- 0 =/= 1
17	16	orci 405	. . . . . 6 |- ( 0 =/= 1 \/ 3 =/= 4 )
18	12, 13	opthne 4951	. . . . . 6 |- ( <. 0 , 3 >. =/= <. 1 , 4 >. <-> ( 0 =/= 1 \/ 3 =/= 4 ) )
19	17, 18	mpbir 221	. . . . 5 |- <. 0 , 3 >. =/= <. 1 , 4 >.
20	15, 19	pm3.2i 471	. . . 4 |- ( <. 0 , 3 >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , 3 >. =/= <. 1 , 4 >. )
21	20	orci 405	. . 3 |- ( ( <. 0 , 3 >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , 3 >. =/= <. 1 , 4 >. ) \/ ( <. 1 , 6 >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 1 , 6 >. =/= <. 1 , 4 >. ) )
22		prneimg 4388	. . 3 |- ( ( ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V ) /\ ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V ) ) -> ( ( ( <. 0 , 3 >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , 3 >. =/= <. 1 , 4 >. ) \/ ( <. 1 , 6 >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 1 , 6 >. =/= <. 1 , 4 >. ) ) -> { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } ) )
23	7, 21, 22	mp2 9	. 2 |- { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
24		zlmodzxzldep.a	. . 3 |- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
25		zlmodzxzldep.b	. . 3 |- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
26	24, 25	neeq12i 2860	. 2 |- ( A =/= B <-> { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } )
27	23, 26	mpbir 221	1 |- A =/= B

Syntax hints:   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   {cpr 4179   <.cop 4183  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   6c6 11074  ℤ_ringzring 19818   freeLMod cfrlm 20090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-2 11079  df-3 11080

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem1  42289  zlmodzxzldeplem3  42291  zlmodzxzldeplem4  42292  ldepsnlinc  42297