Theorem 2lgsoddprmlem3 25139

Description: Lemma 3 for 2lgsoddprm 25141. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7}))

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsdir2lem3 25052	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
2		eleq1 2689	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 mod 8) = 𝑅 → ((𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ 𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
3	2	eqcoms 2630	. . . 4 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ((𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ 𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
4		elun 3753	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ (𝑅 ∈ {1, 7} ∨ 𝑅 ∈ {3, 5}))
5		elpri 4197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ {3, 5} → (𝑅 = 3 ∨ 𝑅 = 5))
6		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 = 3 → (𝑅↑2) = (3↑2))
7	6	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 = 3 → ((𝑅↑2) − 1) = ((3↑2) − 1))
8	7	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 = 3 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((3↑2) − 1) / 8))
9		2lgsoddprmlem3b 25136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((3↑2) − 1) / 8) = 1
10	8, 9	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 = 3 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = 1)
11	10	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 3 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ 1))
12		n2dvds1 15104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
13	12	pm2.21i 116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∥ 1 → 𝑅 ∈ {1, 7})
14	11, 13	syl6bi 243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 3 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
15		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 = 5 → (𝑅↑2) = (5↑2))
16	15	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 = 5 → ((𝑅↑2) − 1) = ((5↑2) − 1))
17	16	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 = 5 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((5↑2) − 1) / 8))
18	17	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 = 5 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((5↑2) − 1) / 8)))
19		2lgsoddprmlem3c 25137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3
20	19	breq2i 4661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∥ (((5↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ 3)
21	18, 20	syl6bb 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 5 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ 3))
22		n2dvds3 15107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 2 ∥ 3
23	22	pm2.21i 116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∥ 3 → 𝑅 ∈ {1, 7})
24	21, 23	syl6bi 243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 5 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
25	14, 24	jaoi 394	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 = 3 ∨ 𝑅 = 5) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
26	5, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ {3, 5} → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
27	26	jao1i 825	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ {1, 7} ∨ 𝑅 ∈ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
28	4, 27	sylbi 207	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
29		elpri 4197	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ {1, 7} → (𝑅 = 1 ∨ 𝑅 = 7))
30		z0even 15103	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∥ 0
31		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 = 1 → (𝑅↑2) = (1↑2))
32	31	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 1 → ((𝑅↑2) − 1) = ((1↑2) − 1))
33	32	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 1 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((1↑2) − 1) / 8))
34		2lgsoddprmlem3a 25135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1↑2) − 1) / 8) = 0
35	33, 34	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 = 1 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = 0)
36	30, 35	syl5breqr 4691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 = 1 → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
37		2z 11409	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
38		3z 11410	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
39		dvdsmul1 15003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 3))
40	37, 38, 39	mp2an 708	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∥ (2 · 3)
41		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 = 7 → (𝑅↑2) = (7↑2))
42	41	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 7 → ((𝑅↑2) − 1) = ((7↑2) − 1))
43	42	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 7 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((7↑2) − 1) / 8))
44		2lgsoddprmlem3d 25138	. . . . . . . . 9 ⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)
45	43, 44	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 = 7 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (2 · 3))
46	40, 45	syl5breqr 4691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 = 7 → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
47	36, 46	jaoi 394	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 = 1 ∨ 𝑅 = 7) → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
48	29, 47	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ {1, 7} → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
49	28, 48	impbid1 215	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7}))
50	3, 49	syl6bi 243	. . 3 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ((𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7})))
51	1, 50	syl5com 31	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7})))
52	51	3impia 1261	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∪ cun 3572  {cpr 4179   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941   − cmin 10266   / cdiv 10684  2c2 11070  3c3 11071  5c5 11073  7c7 11075  8c8 11076  ℤcz 11377   mod cmo 12668  ↑cexp 12860   ∥ cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-dvds 14984

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem4  25140