Theorem lgsdir2lem3 25052

Description: Lemma for lgsdir2 25055. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem3	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))

Proof of Theorem lgsdir2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		8nn 11191	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		zmodfz 12692	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
4	1, 2, 3	sylancl 694	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
5		8cn 11106	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℂ
6		ax-1cn 9994	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
7		7cn 11104	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
8	6, 7	addcomi 10227	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) = (7 + 1)
9		df-8 11085	. . . . . 6 ⊢ 8 = (7 + 1)
10	8, 9	eqtr4i 2647	. . . . 5 ⊢ (1 + 7) = 8
11	5, 6, 7, 10	subaddrii 10370	. . . 4 ⊢ (8 − 1) = 7
12	11	oveq2i 6661	. . 3 ⊢ (0...(8 − 1)) = (0...7)
13	4, 12	syl6eleq 2711	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...7))
14		neg1z 11413	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
15		2z 11409	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
16		dvds0 14997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 0)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∥ 0
18		1pneg1e0 11129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = 0
19		neg1cn 11124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℂ
20	6, 19	addcomi 10227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = (-1 + 1)
21	18, 20	eqtr3i 2646	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (-1 + 1)
22	17, 21	breqtri 4678	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∥ (-1 + 1)
23		noel 3919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (𝐴 mod 8) ∈ ∅
24	23	pm2.21i 116	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ ∅ → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
25		neg1lt0 11127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 < 0
26		0z 11388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℤ
27		fzn 12357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (-1 < 0 ↔ (0...-1) = ∅))
28	26, 14, 27	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1 < 0 ↔ (0...-1) = ∅)
29	25, 28	mpbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0...-1) = ∅
30	24, 29	eleq2s 2719	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
32	14, 22, 31	3pm3.2i 1239	. . . . . . 7 ⊢ (-1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (-1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
33		1e0p1 11552	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0 + 1)
34		ssun1 3776	. . . . . . . 8 ⊢ {1, 7} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
35		1ex 10035	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
36	35	prid1 4297	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ {1, 7}
37	34, 36	sselii 3600	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
38	32, 21, 33, 37	lgsdir2lem2 25051	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
39		df-2 11079	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
40		df-3 11080	. . . . . 6 ⊢ 3 = (2 + 1)
41		ssun2 3777	. . . . . . 7 ⊢ {3, 5} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
42		3ex 11096	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ V
43	42	prid1 4297	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ {3, 5}
44	41, 43	sselii 3600	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
45	38, 39, 40, 44	lgsdir2lem2 25051	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (3 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...3) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
46		df-4 11081	. . . . 5 ⊢ 4 = (3 + 1)
47		df-5 11082	. . . . 5 ⊢ 5 = (4 + 1)
48		5nn 11188	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ
49	48	elexi 3213	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ V
50	49	prid2 4298	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ {3, 5}
51	41, 50	sselii 3600	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
52	45, 46, 47, 51	lgsdir2lem2 25051	. . . 4 ⊢ (5 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (5 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...5) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
53		df-6 11083	. . . 4 ⊢ 6 = (5 + 1)
54		df-7 11084	. . . 4 ⊢ 7 = (6 + 1)
55		7nn 11190	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
56	55	elexi 3213	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ V
57	56	prid2 4298	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ {1, 7}
58	34, 57	sselii 3600	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
59	52, 53, 54, 58	lgsdir2lem2 25051	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (7 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
60	59	simp3i 1072	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
61	13, 60	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∪ cun 3572  ∅c0 3915  {cpr 4179   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   − cmin 10266  -cneg 10267  ℕcn 11020  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  5c5 11073  6c6 11074  7c7 11075  8c8 11076  ℤcz 11377  ...cfz 12326   mod cmo 12668   ∥ cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-dvds 14984

This theorem is referenced by:  lgsdir2  25055  2lgslem3  25129  2lgsoddprmlem3  25139