Theorem 2lgsoddprmlem3c 25137

Description: Lemma 3 for 2lgsoddprmlem3 25139. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3c	⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 11082	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 6660	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 11098	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 12980	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6	2, 5	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ (5↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
7	6	oveq1i 6660	. . . 4 ⊢ ((5↑2) − 1) = ((((4↑2) + (2 · 4)) + 1) − 1)
8		3cn 11095	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		8cn 11106	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	8, 9	mulcli 10045	. . . . 5 ⊢ (3 · 8) ∈ ℂ
11		ax-1cn 9994	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		sq4e2t8 12962	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
13		2cn 11091	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		4t2e8 11181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 2) = 8
15	9	mulid2i 10043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 8) = 8
16	14, 15	eqtr4i 2647	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = (1 · 8)
17	3, 13, 16	mulcomli 10047	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = (1 · 8)
18	12, 17	oveq12i 6662	. . . . . . 7 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ((2 · 8) + (1 · 8))
19	13, 11, 9	adddiri 10051	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) · 8) = ((2 · 8) + (1 · 8))
20		2p1e3 11151	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
21	20	oveq1i 6660	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) · 8) = (3 · 8)
22	18, 19, 21	3eqtr2i 2650	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (3 · 8)
23	22	oveq1i 6660	. . . . 5 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ((3 · 8) + 1)
24	10, 11, 23	mvrraddi 10298	. . . 4 ⊢ ((((4↑2) + (2 · 4)) + 1) − 1) = (3 · 8)
25	7, 24	eqtri 2644	. . 3 ⊢ ((5↑2) − 1) = (3 · 8)
26	25	oveq1i 6660	. 2 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = ((3 · 8) / 8)
27		0re 10040	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		8pos 11121	. . . 4 ⊢ 0 < 8
29	27, 28	gtneii 10149	. . 3 ⊢ 8 ≠ 0
30	8, 9, 29	divcan4i 10772	. 2 ⊢ ((3 · 8) / 8) = 3
31	26, 30	eqtri 2644	1 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3

Syntax hints:   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   − cmin 10266   / cdiv 10684  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  5c5 11073  8c8 11076  ↑cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  25139