Theorem 3dvds2decOLD 15057

Description: Old version of 3dvds2dec 15056. Obsolete as of 1-Aug-2021. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
3dvdsdec.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3dvdsdec.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3dvds2dec.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
3dvds2decOLD	⊢ (3 ∥ ;;𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))

Proof of Theorem 3dvds2decOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3dvdsdec.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		3dvdsdec.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	1, 2	3decOLD 13053	. . . 4 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶)
4		sq10e99m1OLD 13052	. . . . . . . 8 ⊢ (10↑2) = (;99 + 1)
5	4	oveq1i 6660	. . . . . . 7 ⊢ ((10↑2) · 𝐴) = ((;99 + 1) · 𝐴)
6		9nn0 11316	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
7	6, 6	deccl 11512	. . . . . . . . 9 ⊢ ;99 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 11304	. . . . . . . 8 ⊢ ;99 ∈ ℂ
9		ax-1cn 9994	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	1	nn0cni 11304	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
11	8, 9, 10	adddiri 10051	. . . . . . 7 ⊢ ((;99 + 1) · 𝐴) = ((;99 · 𝐴) + (1 · 𝐴))
12	10	mulid2i 10043	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 𝐴) = 𝐴
13	12	oveq2i 6661	. . . . . . 7 ⊢ ((;99 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((;99 · 𝐴) + 𝐴)
14	5, 11, 13	3eqtri 2648	. . . . . 6 ⊢ ((10↑2) · 𝐴) = ((;99 · 𝐴) + 𝐴)
15		df-10OLD 11087	. . . . . . . 8 ⊢ 10 = (9 + 1)
16	15	oveq1i 6660	. . . . . . 7 ⊢ (10 · 𝐵) = ((9 + 1) · 𝐵)
17		9cn 11108	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
18	2	nn0cni 11304	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
19	17, 9, 18	adddiri 10051	. . . . . . 7 ⊢ ((9 + 1) · 𝐵) = ((9 · 𝐵) + (1 · 𝐵))
20	18	mulid2i 10043	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 𝐵) = 𝐵
21	20	oveq2i 6661	. . . . . . 7 ⊢ ((9 · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = ((9 · 𝐵) + 𝐵)
22	16, 19, 21	3eqtri 2648	. . . . . 6 ⊢ (10 · 𝐵) = ((9 · 𝐵) + 𝐵)
23	14, 22	oveq12i 6662	. . . . 5 ⊢ (((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) = (((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵))
24	23	oveq1i 6660	. . . 4 ⊢ ((((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶) = ((((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶)
25	8, 10	mulcli 10045	. . . . . 6 ⊢ (;99 · 𝐴) ∈ ℂ
26	17, 18	mulcli 10045	. . . . . 6 ⊢ (9 · 𝐵) ∈ ℂ
27		add4 10256	. . . . . . 7 ⊢ ((((;99 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((9 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) = (((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)))
28	27	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ ((((;99 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((9 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶))
29	25, 10, 26, 18, 28	mp4an 709	. . . . 5 ⊢ ((((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶)
30	25, 26	addcli 10044	. . . . . 6 ⊢ ((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) ∈ ℂ
31	10, 18	addcli 10044	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
32		3dvds2dec.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 11304	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
34	30, 31, 33	addassi 10048	. . . . 5 ⊢ ((((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶) = (((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
35		9t11e99 11671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · ;11) = ;99
36	35	eqcomi 2631	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;99 = (9 · ;11)
37	36	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 ⊢ (;99 · 𝐴) = ((9 · ;11) · 𝐴)
38		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ0
39	38, 38	deccl 11512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
40	39	nn0cni 11304	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;11 ∈ ℂ
41	17, 40, 10	mulassi 10049	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 · ;11) · 𝐴) = (9 · (;11 · 𝐴))
42	37, 41	eqtri 2644	. . . . . . . 8 ⊢ (;99 · 𝐴) = (9 · (;11 · 𝐴))
43	42	oveq1i 6660	. . . . . . 7 ⊢ ((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) = ((9 · (;11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵))
44	40, 10	mulcli 10045	. . . . . . . . 9 ⊢ (;11 · 𝐴) ∈ ℂ
45	17, 44, 18	adddii 10050	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) = ((9 · (;11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵))
46	45	eqcomi 2631	. . . . . . 7 ⊢ ((9 · (;11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵)) = (9 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))
47		3t3e9 11180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 3) = 9
48	47	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = (3 · 3)
49	48	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) = ((3 · 3) · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))
50		3cn 11095	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
51	44, 18	addcli 10044	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℂ
52	50, 50, 51	mulassi 10049	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · 3) · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) = (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)))
53	49, 52	eqtri 2644	. . . . . . 7 ⊢ (9 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) = (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)))
54	43, 46, 53	3eqtri 2648	. . . . . 6 ⊢ ((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) = (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)))
55	54	oveq1i 6660	. . . . 5 ⊢ (((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)) = ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
56	29, 34, 55	3eqtri 2648	. . . 4 ⊢ ((((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
57	3, 24, 56	3eqtri 2648	. . 3 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
58	57	breq2i 4661	. 2 ⊢ (3 ∥ ;;𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)))
59		3z 11410	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
60	1	nn0zi 11402	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
61	2	nn0zi 11402	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℤ
62		zaddcl 11417	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
63	60, 61, 62	mp2an 708	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ
64	32	nn0zi 11402	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
65		zaddcl 11417	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ)
66	63, 64, 65	mp2an 708	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ
67	39	nn0zi 11402	. . . . . . . 8 ⊢ ;11 ∈ ℤ
68		zmulcl 11426	. . . . . . . 8 ⊢ ((;11 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (;11 · 𝐴) ∈ ℤ)
69	67, 60, 68	mp2an 708	. . . . . . 7 ⊢ (;11 · 𝐴) ∈ ℤ
70		zaddcl 11417	. . . . . . 7 ⊢ (((;11 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((;11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ)
71	69, 61, 70	mp2an 708	. . . . . 6 ⊢ ((;11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ
72		zmulcl 11426	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ ((;11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ) → (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ)
73	59, 71, 72	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ
74		zmulcl 11426	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ) → (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ)
75	59, 73, 74	mp2an 708	. . . 4 ⊢ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ
76		dvdsmul1 15003	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))))
77	59, 73, 76	mp2an 708	. . . 4 ⊢ 3 ∥ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)))
78	75, 77	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))))
79		dvdsadd2b 15028	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ ∧ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))))) → (3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))))
80	59, 66, 78, 79	mp3an 1424	. 2 ⊢ (3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)))
81	58, 80	bitr4i 267	1 ⊢ (3 ∥ ;;𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  2c2 11070  3c3 11071  9c9 11077  10c10 11078  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ;cdc 11493  ↑cexp 12860   ∥ cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-10OLD 11087  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861  df-dvds 14984

This theorem is referenced by: (None)