Theorem axlowdimlem5 25826

Description: Lemma for axlowdim 25841. Show that a particular union is a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axlowdimlem4.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
axlowdimlem4.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem5	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))

Proof of Theorem axlowdimlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdimlem4.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		axlowdimlem4.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3	1, 2	axlowdimlem4 25825	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶ℝ
4		axlowdimlem1 25822	. . . . 5 ⊢ ((3...𝑁) × {0}):(3...𝑁)⟶ℝ
5	3, 4	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶ℝ ∧ ((3...𝑁) × {0}):(3...𝑁)⟶ℝ)
6		axlowdimlem2 25823	. . . 4 ⊢ ((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅
7		fun2 6067	. . . 4 ⊢ ((({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶ℝ ∧ ((3...𝑁) × {0}):(3...𝑁)⟶ℝ) ∧ ((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅) → ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})):((1...2) ∪ (3...𝑁))⟶ℝ)
8	5, 6, 7	mp2an 708	. . 3 ⊢ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})):((1...2) ∪ (3...𝑁))⟶ℝ
9		axlowdimlem3 25824	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1...𝑁) = ((1...2) ∪ (3...𝑁)))
10	9	feq2d 6031	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ ↔ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})):((1...2) ∪ (3...𝑁))⟶ℝ))
11	8, 10	mpbiri 248	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ)
12		eluz2nn 11726	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
13		elee 25774	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
15	11, 14	mpbird 247	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573  ∅c0 3915  {csn 4177  {cpr 4179  ⟨cop 4183   × cxp 5112  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937  ℕcn 11020  2c2 11070  3c3 11071  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326  𝔼cee 25768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-ee 25771

This theorem is referenced by:  axlowdimlem6  25827  axlowdimlem17  25838  axlowdim2  25840  axlowdim  25841