Home | Metamath
Proof Explorer Theorem List (p. 259 of 426) | < Previous Next > |
Bad symbols? Try the
GIF version. |
||
Mirrors > Metamath Home Page > MPE Home Page > Theorem List Contents > Recent Proofs This page: Page List |
Color key: | Metamath Proof Explorer
(1-27775) |
Hilbert Space Explorer
(27776-29300) |
Users' Mathboxes
(29301-42551) |
Type | Label | Description | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Statement | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegconlem5 25801* | Lemma for axsegcon 25807. Show that the distance between two points is nonnegative. (Contributed by Scott Fenton, 17-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2) ⇒ ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 0 ≤ (√‘𝑆)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegconlem6 25802* | Lemma for axsegcon 25807. Show that the distance between two distinct points is positive. (Contributed by Scott Fenton, 17-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2) ⇒ ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 0 < (√‘𝑆)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegconlem7 25803* | Lemma for axsegcon 25807. Show that a particular ratio of distances is in the closed unit interval. (Contributed by Scott Fenton, 18-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2) & ⊢ 𝑇 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2) ⇒ ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) ∈ (0[,]1)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegconlem8 25804* | Lemma for axsegcon 25807. Show that a particular mapping generates a point. (Contributed by Scott Fenton, 18-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2) & ⊢ 𝑇 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2) & ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆))) ⇒ ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegconlem9 25805* | Lemma for axsegcon 25807. Show that 𝐵𝐹 is congruent to 𝐶𝐷. (Contributed by Scott Fenton, 19-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2) & ⊢ 𝑇 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2) & ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆))) ⇒ ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐹‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegconlem10 25806* | Lemma for axsegcon 25807. Show that the scaling constant from axsegconlem7 25803 produces the betweenness condition for 𝐴, 𝐵 and 𝐹. (Contributed by Scott Fenton, 21-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2) & ⊢ 𝑇 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2) & ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆))) ⇒ ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))) · (𝐴‘𝑖)) + (((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐹‘𝑖)))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axsegcon 25807* | Any segment 𝐴𝐵 can be extended to a point 𝑥 such that 𝐵𝑥 is congruent to 𝐶𝐷. Axiom A4 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Scott Fenton, 4-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝑥〉 ∧ 〈𝐵, 𝑥〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem1 25808* | Lemma for ax5seg 25818. Rexpress a one congruence sum given betweenness. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem2 25809* | Lemma for ax5seg 25818. Rexpress another congruence sum given betweenness. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem3a 25810 | Lemma for ax5seg 25818. (Contributed by Scott Fenton, 7-May-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((𝐷‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem3 25811* | Lemma for ax5seg 25818. Combine congruences for points on a line. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐷, 𝐸〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐹〉)) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))↑2)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem4 25812* | Lemma for ax5seg 25818. Given two distinct points, the scaling constant in a betweenness statement is nonzero. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑇 ≠ 0) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem5 25813* | Lemma for ax5seg 25818. If 𝐵 is between 𝐴 and 𝐶, and 𝐴 is distinct from 𝐵, then 𝐴 is distinct from 𝐶. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ≠ 0) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem6 25814* | Lemma for ax5seg 25818. Given two line segments that are divided into pieces, if the pieces are congruent, then the scaling constant is the same. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑆 · (𝐹‘𝑖))))) ∧ (〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐷, 𝐸〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐹〉)) → 𝑇 = 𝑆) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem7 25815 | Lemma for ax5seg 25818. An algebraic calculation needed further down the line. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 ∈ ℂ & ⊢ 𝑇 ∈ ℂ & ⊢ 𝐶 ∈ ℂ & ⊢ 𝐷 ∈ ℂ ⇒ ⊢ (𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2)))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem8 25816 | Lemma for ax5seg 25818. Use the weak deduction theorem to eliminate the hypotheses from ax5seglem7 25815. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seglem9 25817* | Lemma for ax5seg 25818. Take the calculation in ax5seglem8 25816 and turn it into a series of measurements. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ax5seg 25818 | The five segment axiom. Take two triangles 𝐴𝐷𝐶 and 𝐸𝐻𝐺, a point 𝐵 on 𝐴𝐶, and a point 𝐹 on 𝐸𝐺. If all corresponding line segments except for 𝐶𝐷 and 𝐺𝐻 are congruent, then so are 𝐶𝐷 and 𝐺𝐻. Axiom A5 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐸, 𝐹〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐵, 𝐷〉Cgr〈𝐹, 𝐻〉)) → 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axbtwnid 25819 | Points are indivisible. That is, if 𝐴 lies between 𝐵 and 𝐵, then 𝐴 = 𝐵. Axiom A6 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn 〈𝐵, 𝐵〉 → 𝐴 = 𝐵)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axpaschlem 25820* | Lemma for axpasch 25821. Set up coefficents used in the proof. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑝 ∈ (0[,]1)(𝑝 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑇)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑝) · (1 − 𝑆)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑇) = ((1 − 𝑝) · 𝑆))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axpasch 25821* | The inner Pasch axiom. Take a triangle 𝐴𝐶𝐸, a point 𝐷 on 𝐴𝐶, and a point 𝐵 extending 𝐶𝐸. Then 𝐴𝐸 and 𝐷𝐵 intersect at some point 𝑥. Axiom A7 of [Schwabhauser] p. 12. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐸 Btwn 〈𝐵, 𝐶〉) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn 〈𝐷, 𝐵〉 ∧ 𝑥 Btwn 〈𝐸, 𝐴〉))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem1 25822 | Lemma for axlowdim 25841. Establish a particular constant function as a function. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((3...𝑁) × {0}):(3...𝑁)⟶ℝ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem2 25823 | Lemma for axlowdim 25841. Show that two sets are disjoint. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem3 25824 | Lemma for axlowdim 25841. Set up a union property for an interval of integers. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1...𝑁) = ((1...2) ∪ (3...𝑁))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem4 25825 | Lemma for axlowdim 25841. Set up a particular constant function. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 ∈ ℝ & ⊢ 𝐵 ∈ ℝ ⇒ ⊢ {〈1, 𝐴〉, 〈2, 𝐵〉}:(1...2)⟶ℝ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem5 25826 | Lemma for axlowdim 25841. Show that a particular union is a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 ∈ ℝ & ⊢ 𝐵 ∈ ℝ ⇒ ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ({〈1, 𝐴〉, 〈2, 𝐵〉} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem6 25827 | Lemma for axlowdim 25841. Show that three points are non-colinear. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = ({〈1, 0〉, 〈2, 0〉} ∪ ((3...𝑁) × {0})) & ⊢ 𝐵 = ({〈1, 1〉, 〈2, 0〉} ∪ ((3...𝑁) × {0})) & ⊢ 𝐶 = ({〈1, 0〉, 〈2, 1〉} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ⇒ ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ (𝐴 Btwn 〈𝐵, 𝐶〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈𝐶, 𝐴〉 ∨ 𝐶 Btwn 〈𝐴, 𝐵〉)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem7 25828 | Lemma for axlowdim 25841. Set up a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = ({〈3, -1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ⇒ ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem8 25829 | Lemma for axlowdim 25841. Calculate the value of 𝑃 at three. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = ({〈3, -1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ⇒ ⊢ (𝑃‘3) = -1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem9 25830 | Lemma for axlowdim 25841. Calculate the value of 𝑃 away from three. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = ({〈3, -1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ⇒ ⊢ ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 3) → (𝑃‘𝐾) = 0) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem10 25831 | Lemma for axlowdim 25841. Set up a family of points in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑄 = ({〈(𝐼 + 1), 1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem11 25832 | Lemma for axlowdim 25841. Calculate the value of 𝑄 at its distinguished point. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑄 = ({〈(𝐼 + 1), 1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) ⇒ ⊢ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem12 25833 | Lemma for axlowdim 25841. Calculate the value of 𝑄 away from its distinguished point. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑄 = ({〈(𝐼 + 1), 1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) ⇒ ⊢ ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 + 1)) → (𝑄‘𝐾) = 0) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem13 25834 | Lemma for axlowdim 25841. Establish that 𝑃 and 𝑄 are different points. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = ({〈3, -1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) & ⊢ 𝑄 = ({〈(𝐼 + 1), 1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑃 ≠ 𝑄) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem14 25835 | Lemma for axlowdim 25841. Take two possible 𝑄 from axlowdimlem10 25831. They are the same iff their distinguished values are the same. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑄 = ({〈(𝐼 + 1), 1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) & ⊢ 𝑅 = ({〈(𝐽 + 1), 1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐽 + 1)}) × {0})) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 = 𝑅 → 𝐼 = 𝐽)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem15 25836* | Lemma for axlowdim 25841. Set up a one-to-one function of points. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐹 = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ if(𝑖 = 1, ({〈3, -1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})), ({〈(𝑖 + 1), 1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝑖 + 1)}) × {0})))) ⇒ ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹:(1...(𝑁 − 1))–1-1→(𝔼‘𝑁)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem16 25837* | Lemma for axlowdim 25841. Set up a summation that will help establish distance. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = ({〈3, -1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) & ⊢ 𝑄 = ({〈(𝐼 + 1), 1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)((𝑃‘𝑖)↑2) = Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)((𝑄‘𝑖)↑2)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem17 25838 | Lemma for axlowdim 25841. Establish a congruence result. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = ({〈3, -1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) & ⊢ 𝑄 = ({〈(𝐼 + 1), 1〉} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) & ⊢ 𝐴 = ({〈1, 𝑋〉, 〈2, 𝑌〉} ∪ ((3...𝑁) × {0})) & ⊢ 𝑋 ∈ ℝ & ⊢ 𝑌 ∈ ℝ ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 〈𝑃, 𝐴〉Cgr〈𝑄, 𝐴〉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdim1 25839* | The lower dimension axiom for one dimension. In any dimension, there are at least two distinct points. Theorem 3.13 of [Schwabhauser] p. 32, where it is derived from axlowdim2 25840. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥 ≠ 𝑦) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdim2 25840* | The lower two-dimensional axiom. In any space where the dimension is greater than one, there are three non-colinear points. Axiom A8 of [Schwabhauser] p. 12. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ¬ (𝑥 Btwn 〈𝑦, 𝑧〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈𝑧, 𝑥〉 ∨ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdim 25841* | The general lower dimension axiom. Take a dimension 𝑁 greater than or equal to three. Then, there are three non-colinear points in 𝑁 dimensional space that are equidistant from 𝑁 − 1 distinct points. Derived from remarks in Tarski's System of Geometry, Alfred Tarski and Steven Givant, Bulletin of Symbolic Logic, Volume 5, Number 2 (1999), 175-214. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑝∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑝:(1...(𝑁 − 1))–1-1→(𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (2...(𝑁 − 1))(〈(𝑝‘1), 𝑥〉Cgr〈(𝑝‘𝑖), 𝑥〉 ∧ 〈(𝑝‘1), 𝑦〉Cgr〈(𝑝‘𝑖), 𝑦〉 ∧ 〈(𝑝‘1), 𝑧〉Cgr〈(𝑝‘𝑖), 𝑧〉) ∧ ¬ (𝑥 Btwn 〈𝑦, 𝑧〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈𝑧, 𝑥〉 ∨ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axeuclidlem 25842* | Lemma for axeuclid 25843. Handle the algebraic aspects of the theorem. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑃 · (𝑇‘𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑄 · (𝐶‘𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑥‘𝑖))) ∧ (𝐶‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑦‘𝑖))) ∧ (𝑇‘𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑢 · (𝑦‘𝑖))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axeuclid 25843* | Euclid's axiom. Take an angle 𝐵𝐴𝐶 and a point 𝐷 between 𝐵 and 𝐶. Now, if you extend the segment 𝐴𝐷 to a point 𝑇, then 𝑇 lies between two points 𝑥 and 𝑦 that lie on the angle. Axiom A10 of [Schwabhauser] p. 13. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn 〈𝐴, 𝑇〉 ∧ 𝐷 Btwn 〈𝐵, 𝐶〉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝑥〉 ∧ 𝐶 Btwn 〈𝐴, 𝑦〉 ∧ 𝑇 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem1 25844* | Lemma for axcont 25856. Change bound variables for later use. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐹 = {〈𝑥, 𝑡〉 ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))} ⇒ ⊢ 𝐹 = {〈𝑦, 𝑠〉 ∣ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (𝑠 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑗) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑗)) + (𝑠 · (𝑈‘𝑗)))))} | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem2 25845* | Lemma for axcont 25856. The idea here is to set up a mapping 𝐹 that will allow us to transfer dedekind 10200 to two sets of points. Here, we set up 𝐹 and show its domain and range. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} & ⊢ 𝐹 = {〈𝑥, 𝑡〉 ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))} ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → 𝐹:𝐷–1-1-onto→(0[,)+∞)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem3 25846* | Lemma for axcont 25856. Given the separation assumption, 𝐵 is a subset of 𝐷. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn 〈𝑍, 𝑦〉)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → 𝐵 ⊆ 𝐷) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem4 25847* | Lemma for axcont 25856. Given the separation assumption, 𝐴 is a subset of 𝐷. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn 〈𝑍, 𝑦〉)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → 𝐴 ⊆ 𝐷) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem5 25848* | Lemma for axcont 25856. Compute the value of 𝐹. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} & ⊢ 𝐹 = {〈𝑥, 𝑡〉 ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))} ⇒ ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem6 25849* | Lemma for axcont 25856. State the defining properties of the value of 𝐹. (Contributed by Scott Fenton, 19-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} & ⊢ 𝐹 = {〈𝑥, 𝑡〉 ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))} ⇒ ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem7 25850* | Lemma for axcont 25856. Given two points in 𝐷, one preceeds the other iff its scaling constant is less than the other point's. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} & ⊢ 𝐹 = {〈𝑥, 𝑡〉 ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))} ⇒ ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → (𝑃 Btwn 〈𝑍, 𝑄〉 ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem8 25851* | Lemma for axcont 25856. A point in 𝐷 is between two others if its function value falls in the middle. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} & ⊢ 𝐹 = {〈𝑥, 𝑡〉 ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))} ⇒ ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) → (((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)) → 𝑄 Btwn 〈𝑃, 𝑅〉)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem9 25852* | Lemma for axcont 25856. Given the separation assumption, all values of 𝐹 over 𝐴 are less than or equal to all values of 𝐹 over 𝐵. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} & ⊢ 𝐹 = {〈𝑥, 𝑡〉 ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))} ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn 〈𝑍, 𝑦〉)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐵)𝑛 ≤ 𝑚) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem10 25853* | Lemma for axcont 25856. Given a handful of assumptions, derive the conclusion of the final theorem. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} & ⊢ 𝐹 = {〈𝑥, 𝑡〉 ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))} ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn 〈𝑍, 𝑦〉)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem11 25854* | Lemma for axcont 25856. Eliminate the hypotheses from axcontlem10 25853. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn 〈𝑍, 𝑦〉)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem12 25855* | Lemma for axcont 25856. Eliminate the trivial cases from the previous lemmas. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn 〈𝑍, 𝑦〉)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcont 25856* | The axiom of continuity. Take two sets of points 𝐴 and 𝐵. If all the points in 𝐴 come before the points of 𝐵 on a line, then there is a point separating the two. Axiom A11 of [Schwabhauser] p. 13. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∃𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn 〈𝑎, 𝑦〉)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Syntax | ceeng 25857 | Extends class notation with the Tarski geometry structure for 𝔼↑𝑁. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
class EEG | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Definition | df-eeng 25858* | Define the geometry structure for 𝔼↑𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Aug-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ EEG = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ({〈(Base‘ndx), (𝔼‘𝑛)〉, 〈(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑛)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))〉} ∪ {〈(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉, 〈(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑛) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∣ (𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈𝑧, 𝑦〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈𝑥, 𝑧〉)})〉})) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eengv 25859* | The value of the Euclidean geometry for dimension 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) = ({〈(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)〉, 〈(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))〉} ∪ {〈(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉, 〈(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈𝑧, 𝑦〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈𝑥, 𝑧〉)})〉})) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eengstr 25860 | The Euclidean geometry as a structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct 〈1, ;17〉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eengbas 25861 | The Base of the Euclidean geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ebtwntg 25862 | The betweenness relation used in the Tarski structure for the Euclidean geometry is the same as Btwn. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) & ⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁)) & ⊢ 𝐼 = (Itv‘(EEG‘𝑁)) & ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃) & ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃) & ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃) ⇒ ⊢ (𝜑 → (𝑍 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉 ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ecgrtg 25863 | The congruence relation used in the Tarski structure for the Euclidean geometry is the same as Cgr. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) & ⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁)) & ⊢ − = (dist‘(EEG‘𝑁)) & ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃) & ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃) & ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃) & ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃) ⇒ ⊢ (𝜑 → (〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐶, 𝐷〉 ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | elntg 25864* | The line definition in the Tarski structure for the Euclidean geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Apr-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁)) & ⊢ 𝐼 = (Itv‘(EEG‘𝑁)) ⇒ ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineG‘(EEG‘𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))})) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eengtrkg 25865 | The geometry structure for 𝔼↑𝑁 is a Tarski geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) ∈ TarskiG) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eengtrkge 25866 | The geometry structure for 𝔼↑𝑁 is a Euclidean geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) ∈ TarskiGE) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Basic concepts:
Basic kinds of graphs:
Terms and properties of graphs:
Special kinds of graphs:
For the terms "Path", "Walk", "Trail", "Circuit", "Cycle" see the remarks below and the definitions in Section I.1 in [Bollobas] p. 4-5. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
In the following, the vertices and (indexed) edges for an arbitrary class 𝐺 (called "graph" in the following) are defined and examined. The main result of this section is to show that the set of vertices (Vtx‘𝐺) of a graph 𝐺 is the first component 𝑉 of the graph 𝐺 if it is represented by an ordered pair 〈𝑉, 𝐸〉 (see opvtxfv 25884), or the base set (Base‘𝐺) of the graph 𝐺 if it is represented as extensible structure (see basvtxval 25901), and that the set of indexed edges resp. the edge function (iEdg‘𝐺) is the second component 𝐸 of the graph 𝐺 if it is represented by an ordered pair 〈𝑉, 𝐸〉 (see opiedgfv 25887), or the component (.ef‘𝐺) of the graph 𝐺 if it is represented as extensible structure (see edgfiedgval 25902). Finally, it is shown that the set of edges of a graph 𝐺 is the range of its edge function: (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺), see edgval 25941. Usually, a graph 𝐺 is a set. If 𝐺 is a proper class, however, it represents the null graph (without vertices and edges), because (Vtx‘𝐺) = ∅ and (iEdg‘𝐺) = ∅ holds, see vtxvalprc 25937 and iedgvalprc 25938. Up to the end of this section, the edges need not be related to the vertices. Once undirected hypergraphs are defined (see df-uhgr 25953), the edges become nonempty sets of vertices, and by this obtain their meaning as "connectors" of vertices. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Syntax | cedgf 25867 | Extend class notation with an edge function. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
class .ef | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Definition | df-edgf 25868 | Define the edge function (indexed edges) of a graph. (Contributed by AV, 18-Jan-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ .ef = Slot ;18 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | edgfid 25869 | Utility theorem: index-independent form of df-edgf 25868. (Contributed by AV, 16-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ .ef = Slot (.ef‘ndx) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | edgfndxnn 25870 | The index value of the edge function extractor is a positive integer. This property should be ensured for every concrete coding because otherwise it could not be used in an extensible structure (slots must be positive integers). (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | edgfndxid 25871 | The value of the edge function extractor is the value of the corresponding slot of the structure. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | baseltedgf 25872 | The index value of the Base slot is less than the index value of the .ef slot. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (Base‘ndx) < (.ef‘ndx) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | slotsbaseefdif 25873 | The slots Base and .ef are different. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The key concepts in graph theory are vertices and edges. In general, a graph "consists" (at least) of two sets: the set of vertices and the set of edges. The edges "connect" vertices. The meaning of "connect" is different for different kinds of graphs (directed/undirected graphs, hyper-/pseudo-/ multi-/simple graphs, etc.). The simplest way to represent a graph (of any kind) is to define a graph as "an ordered pair of disjoint sets (V, E)" (see section I.1 in [Bollobas] p. 1), or in the notation of Metamath: 〈𝑉, 𝐸〉. Another way is to regard a graph as a mathematical structure, which consistes at least of a set (of vertices) and a relation between the vertices (edge function), but which can be enhanced by additional features (see Wikipedia "Mathematical structure", 24-Sep-2020, https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_structure): "In mathematics, a structure is a set endowed with some additional features on the set (e.g., operation, relation, metric, topology). Often, the additional features are attached or related to the set, so as to provide it with some additional meaning or significance.". Such structures are provided as "extensible structures" in Metamath, see df-struct 15859. To allow for expressing and proving most of the theorems for graphs independently from their representation, the functions Vtx and iEdg are defined (see df-vtx 25876 and df-iedg 25877), which provide the vertices resp. (indexed) edges of an arbitrary class 𝐺 which represents a graph: (Vtx‘𝐺) resp. (iEdg‘𝐺). In literature, these functions are often denoted also by "V" and "E", see section I.1 in [Bollobas] p. 1 ("If G is a graph, then V = V(G) is the vertex set of G, and E = E(G) is the edge set.") or section 1.1 in [Diestel] p. 2 ("The vertex set of graph G is referred to as V(G), its edge set as E(G)."). Instead of providing edges themselves, iEdg is intended to provide a function as mapping of "indices" (the domain of the function) to the edges (therefore called "set of indexed edges"), which allows for hyper-/pseudo-/multigraphs with more than one edge between two (or more) vertices. For example, e1 = e(1) = { a, b } and e2 = e(2) = { a, b } are two different edges connecting the same two vertices a and b (in a pseudograph). In section 1.10 of [Diestel] p. 28, the edge function is defined differently: as "map E -> V u. [V]^2 assigning to every edge either one or two vertices, its end.". Here, the domain is the set of abstract edges: for two different edges e1 and e2 connecting the same two vertices a and b, we would have e(e1) = e(e2) = { a, b }. Since the set of abstract edges can be chosen as index set, these definitions are equivalent. The result of these functions are as expected: for a graph represented as ordered pair (𝐺 ∈ (V × V)), the set of vertices is (Vtx‘𝐺) = (1st ‘𝐺) (see opvtxval 25883) and the set of (indexed) edges is (iEdg‘𝐺) = (2nd ‘𝐺) (see opiedgval 25886), or if 𝐺 is given as ordered pair 𝐺 = 〈𝑉, 𝐸〉, the set of vertices is (Vtx‘𝐺) = 𝑉 (see opvtxfv 25884) and the set of (indexed) edges is (iEdg‘𝐺) = 𝐸 (see opiedgfv 25887). And for a graph represented as extensible structure (𝐺 Struct 〈(Base‘ndx), (.ef‘ndx)〉), the set of vertices is (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝐺) (see funvtxval 25905) and the set of (indexed) edges is (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺) (see funiedgval 25906), or if 𝐺 is given in its simplest form as extensible structure with two slots (𝐺 = {〈(Base‘ndx), 𝑉〉, 〈(.ef‘ndx), 𝐸〉}), the set of vertices is (Vtx‘𝐺) = 𝑉 (see struct2grvtx 25919) and the set of (indexed) edges is (iEdg‘𝐺) = 𝐸 (see struct2griedg 25920). These two representations are convertible, see graop 25921 and grastruct 25922: If 𝐺 is a graph (for example 𝐺 = 〈𝑉, 𝐸〉), then 𝐻 = {〈(Base‘ndx), (Vtx‘𝐺)〉, 〈(.ef‘ndx), (iEdg‘𝐺)〉} represents essentially the same graph, and if 𝐺 is a graph (for example 𝐺 = {〈(Base‘ndx), 𝑉〉, 〈(.ef‘ndx), 𝐸〉}), then 𝐻 = 〈(Vtx‘𝐺), (iEdg‘𝐺)〉 represents essentially the same graph. In both cases, (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) and (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻) hold. Theorems gropd 25923 and gropeld 25925 show that if any representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸 has a certain property, then the ordered pair 〈𝑉, 𝐸〉 of the set of vertices and the set of edges (which is such a representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸) has this property. Analogously, theorems grstructd 25924 and grstructeld 25926 show that if any representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸 has a certain property, then any extensible structure with base set 𝑉 and value 𝐸 in the slot for edge functions (which is also such a representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸) has this property. Besides the usual way to represent graphs without edges (consisting of unconnected vertices only), which would be 𝐺 = 〈𝑉, ∅〉 or 𝐺 = {〈(Base‘ndx), 𝑉〉, 〈(.ef‘ndx), ∅〉}, a structure without a slot for edges can be used: 𝐺 = {〈(Base‘ndx), 𝑉〉}, see snstrvtxval 25929 and snstriedgval 25930. Analogously, the empty set ∅ can be used to represent the null graph, see vtxval0 25931 and iedgval0 25932, which can also be represented by 𝐺 = 〈∅, ∅〉 or 𝐺 = {〈(Base‘ndx), ∅〉, 〈(.ef‘ndx), ∅〉}. Even proper classes can be used to represent the null graph, see vtxvalprc 25937 and iedgvalprc 25938. Other classes should not be used to represent graphs, because there could be a degenerated behavior of the vertex set and (indexed) edge functions, see vtxvalsnop 25933 resp. iedgvalsnop 25934, and vtxval3sn 25935 resp. iedgval3sn 25936. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Syntax | cvtx 25874 | Extend class notation with the vertices of "graphs". | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
class Vtx | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Syntax | ciedg 25875 | Extend class notation with the indexed edges of "graphs". | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
class iEdg | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Definition | df-vtx 25876 | Define the function mapping a graph to the set of its vertices. This definition is very general: It defines the set of vertices for any ordered pair as its first component, and for any other class as its "base set". It is meaningful, however, only if the ordered pair represents a graph resp. the class is an extensible structure representing a graph. (Contributed by AV, 9-Jan-2020.) (Revised by AV, 20-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ Vtx = (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 ∈ (V × V), (1st ‘𝑔), (Base‘𝑔))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Definition | df-iedg 25877 | Define the function mapping a graph to its indexed edges. This definition is very general: It defines the indexed edges for any ordered pair as its second component, and for any other class as its "edge function". It is meaningful, however, only if the ordered pair represents a graph resp. the class is an extensible structure (containing a slot for "edge functions") representing a graph. (Contributed by AV, 20-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ iEdg = (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 ∈ (V × V), (2nd ‘𝑔), (.ef‘𝑔))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | vtxval 25878 | The set of vertices of a graph. (Contributed by AV, 9-Jan-2020.) (Revised by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (Vtx‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (1st ‘𝐺), (Base‘𝐺)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | iedgval 25879 | The set of indexed edges of a graph. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | vtxvalOLD 25880 | Obsolete version of vtxval 25878 as of 11-Nov-2021. (Contributed by AV, 9-Jan-2020.) (Revised by AV, 21-Sep-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Vtx‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (1st ‘𝐺), (Base‘𝐺))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | iedgvalOLD 25881 | Obsolete version of iedgval 25879 as of 11-Nov-2021. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | 1vgrex 25882 | A graph with at least one vertex is a set. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺) ⇒ ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opvtxval 25883 | The set of vertices of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges. (Contributed by AV, 9-Jan-2020.) (Revised by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐺 ∈ (V × V) → (Vtx‘𝐺) = (1st ‘𝐺)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opvtxfv 25884 | The set of vertices of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges as function value. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘〈𝑉, 𝐸〉) = 𝑉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opvtxov 25885 | The set of vertices of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges as operation value. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (𝑉Vtx𝐸) = 𝑉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opiedgval 25886 | The set of indexed edges of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐺 ∈ (V × V) → (iEdg‘𝐺) = (2nd ‘𝐺)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opiedgfv 25887 | The set of indexed edges of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges as function value. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘〈𝑉, 𝐸〉) = 𝐸) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opiedgov 25888 | The set of indexed edges of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges as operation value. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (𝑉iEdg𝐸) = 𝐸) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opvtxfvi 25889 | The set of vertices of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges as function value. (Contributed by AV, 4-Mar-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑉 ∈ V & ⊢ 𝐸 ∈ V ⇒ ⊢ (Vtx‘〈𝑉, 𝐸〉) = 𝑉 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opiedgfvi 25890 | The set of indexed edges of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges as function value. (Contributed by AV, 4-Mar-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑉 ∈ V & ⊢ 𝐸 ∈ V ⇒ ⊢ (iEdg‘〈𝑉, 𝐸〉) = 𝐸 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | funvtxdmge2val 25891 | The set of vertices of an extensible structure with (at least) two slots. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (#‘dom 𝐺)) → (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝐺)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | funiedgdmge2val 25892 | The set of indexed edges of an extensible structure with (at least) two slots. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (#‘dom 𝐺)) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | funvtxdm2val 25893 | The set of vertices of an extensible structure with (at least) two slots. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 ∈ V & ⊢ 𝐵 ∈ V ⇒ ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝐺)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | funiedgdm2val 25894 | The set of indexed edges of an extensible structure with (at least) two slots. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 ∈ V & ⊢ 𝐵 ∈ V ⇒ ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | funvtxdm2valOLD 25895 | Obsolete version of funvtxdm2val 25893 as of 11-Nov-2021. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 ∈ V & ⊢ 𝐵 ∈ V ⇒ ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝐺)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | funiedgdm2valOLD 25896 | Obsolete version of funiedgdm2val 25894 as of 11-Nov-2021. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 ∈ V & ⊢ 𝐵 ∈ V ⇒ ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | funvtxval0 25897 | The set of vertices of an extensible structure with a base set and (at least) another slot. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑆 ∈ V ⇒ ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝑆 ≠ (Base‘ndx) ∧ {(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom 𝐺) → (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝐺)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | funvtxval0OLD 25898 | Obsolete version of funvtxval0 25897 as of 11-Nov-2021. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑆 ∈ V ⇒ ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ 𝑆 ≠ (Base‘ndx) ∧ {(Base‘ndx), 𝑆} ⊆ dom 𝐺) → (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝐺)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | funvtxdmge2valOLD 25899 | Obsolete version of funvtxdmge2val 25891 as of 11-Nov-2021. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (#‘dom 𝐺)) → (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝐺)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | funiedgdmge2valOLD 25900 | Obsolete version of funiedgdmge2val 25892 as of 11-Nov-2021. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (#‘dom 𝐺)) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺)) |
< Previous Next > |
Copyright terms: Public domain | < Previous Next > |