Theorem bernneq 12990

Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
bernneq	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem bernneq

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 0))
2	1	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · 0)))
3		oveq2 6658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑0))
4	2, 3	breq12d 4666	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0)))
5	4	imbi2d 330	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0))))
6		oveq2 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 𝑘))
7	6	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · 𝑘)))
8		oveq2 6658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑𝑘))
9	7, 8	breq12d 4666	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘)))
10	9	imbi2d 330	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))))
11		oveq2 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · (𝑘 + 1)))
12	11	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))))
13		oveq2 6658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))
14	12, 13	breq12d 4666	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1))))
15	14	imbi2d 330	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
16		oveq2 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 𝑁))
17	16	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · 𝑁)))
18		oveq2 6658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑𝑁))
19	17, 18	breq12d 4666	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁)))
20	19	imbi2d 330	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))))
21		recn 10026	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
22		mul01 10215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
23	22	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (𝐴 · 0)) = (1 + 0))
24		1p0e1 11133	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 0) = 1
25	23, 24	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (𝐴 · 0)) = 1)
26		1le1 10655	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 1
27		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
28		addcl 10018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
29	27, 28	mpan 706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
30		exp0 12864	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 + 𝐴) ∈ ℂ → ((1 + 𝐴)↑0) = 1)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴)↑0) = 1)
32	26, 31	syl5breqr 4691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ≤ ((1 + 𝐴)↑0))
33	25, 32	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0))
34	21, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0))
35	34	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0))
36		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
37		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
38		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℝ)
39	37, 38	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℝ)
40		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑘) ∈ ℝ) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℝ)
41	36, 39, 40	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℝ)
42		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
43		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ∈ ℝ)
44	41, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ∈ ℝ)
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ∈ ℝ)
46		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
47	36, 46	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
49	41, 48	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
51		reexpcl 12877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((1 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
52	47, 51	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
53	52, 48	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
55		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
56	55	anidms 677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
57		msqge0 10549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))
58	56, 57	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐴)))
59		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
60	37, 59	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘))
61		mulge0 10546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐴)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐴) · 𝑘))
62	58, 60, 61	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐴) · 𝑘))
63	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
64		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
65	64	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
66	63, 63, 65	mul32d 10246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐴) · 𝑘) = ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))
67	62, 66	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))
68		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
69	38, 68	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ∈ ℝ)
70	37, 69	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ∈ ℝ)
71	44, 70	addge01d 10615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0 ≤ ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ↔ ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))))
72	67, 71	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)))
73		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ)
74		addcl 10018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℂ)
75	27, 73, 74	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℂ)
76		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
77	73, 76	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ∈ ℂ)
78	75, 76, 77	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + (𝐴 + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))))
79		muladd11 10206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + (𝐴 + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))))
80	73, 76, 79	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + (𝐴 + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))))
81	78, 80	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)))
82	21, 64, 81	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)))
83	72, 82	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)))
84	83	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)))
85	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℝ)
86	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + 𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
87	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
88		neg1rr 11125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -1 ∈ ℝ
89		leadd2 10497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-1 ≤ 𝐴 ↔ (1 + -1) ≤ (1 + 𝐴)))
90	88, 36, 89	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝐴 ↔ (1 + -1) ≤ (1 + 𝐴)))
91		1pneg1e0 11129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 + -1) = 0
92	91	breq1i 4660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 + -1) ≤ (1 + 𝐴) ↔ 0 ≤ (1 + 𝐴))
93	90, 92	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (1 + 𝐴)))
94	93	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (1 + 𝐴))
95	94	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → 0 ≤ (1 + 𝐴))
96		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))
97	85, 86, 87, 95, 96	lemul1ad 10963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) ≤ (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
98	45, 50, 54, 84, 97	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
99		adddi 10025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)))
100	27, 99	mp3an3 1413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)))
101		mulid1 10037	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
102	101	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
103	102	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))
104	100, 103	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))
105	104	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)))
106		addass 10023	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)))
107	27, 106	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)))
108	73, 76, 107	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)))
109	105, 108	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴))
110	21, 64, 109	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴))
111	110	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴))
112	27, 21, 28	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
113		expp1 12867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
114	112, 113	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
115	114	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
116	98, 111, 115	3brtr4d 4685	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))
117	116	exp43 640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1 ≤ 𝐴 → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1))))))
118	117	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝐴 → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1))))))
119	118	impd 447	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
120	119	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
121	5, 10, 15, 20, 35, 120	nn0ind 11472	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁)))
122	121	expd 452	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝐴 → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))))
123	122	com12 32	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1 ≤ 𝐴 → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))))
124	123	3imp 1256	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   ≤ cle 10075  -cneg 10267  ℕ₀cn0 11292  ↑cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  bernneq2  12991  stoweidlem1  40218  stoweidlem10  40227  stoweidlem42  40259