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Theorem bernneq 12990

Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
bernneq	$/\$ $/\$

Proof of Theorem bernneq Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . . . . . 8
2	1	oveq2d 6666	. . . . . . 7
3		oveq2 6658	. . . . . . 7
4	2, 3	breq12d 4666	. . . . . 6
5	4	imbi2d 330	. . . . 5 $/\$ $/\$
6		oveq2 6658	. . . . . . . 8
7	6	oveq2d 6666	. . . . . . 7
8		oveq2 6658	. . . . . . 7
9	7, 8	breq12d 4666	. . . . . 6
10	9	imbi2d 330	. . . . 5 $/\$ $/\$
11		oveq2 6658	. . . . . . . 8
12	11	oveq2d 6666	. . . . . . 7
13		oveq2 6658	. . . . . . 7
14	12, 13	breq12d 4666	. . . . . 6
15	14	imbi2d 330	. . . . 5 $/\$ $/\$
16		oveq2 6658	. . . . . . . 8
17	16	oveq2d 6666	. . . . . . 7
18		oveq2 6658	. . . . . . 7
19	17, 18	breq12d 4666	. . . . . 6
20	19	imbi2d 330	. . . . 5 $/\$ $/\$
21		recn 10026	. . . . . . 7
22		mul01 10215	. . . . . . . . . 10
23	22	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
24		1p0e1 11133	. . . . . . . . 9
25	23, 24	syl6eq 2672	. . . . . . . 8
26		1le1 10655	. . . . . . . . 9
27		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . 11
28		addcl 10018	. . . . . . . . . . 11 $/\$
29	27, 28	mpan 706	. . . . . . . . . 10
30		exp0 12864	. . . . . . . . . 10
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . 9
32	26, 31	syl5breqr 4691	. . . . . . . 8
33	25, 32	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7
34	21, 33	syl 17	. . . . . 6
35	34	adantr 481	. . . . 5 $/\$
36		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . 14
37		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . 15
38		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
39	37, 38	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
40		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
41	36, 39, 40	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
42		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
43		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
44	41, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
46		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
47	36, 46	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . 14
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
49	41, 48	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
51		reexpcl 12877	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
52	47, 51	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 48	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
55		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
56	55	anidms 677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
57		msqge0 10549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
58	56, 57	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
60	37, 59	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
61		mulge0 10546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
62	58, 60, 61	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
63	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
64		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
65	64	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
66	63, 63, 65	mul32d 10246	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
67	62, 66	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
68		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
69	38, 68	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
70	37, 69	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
71	44, 70	addge01d 10615	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
72	67, 71	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
73		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
74		addcl 10018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
75	27, 73, 74	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
76		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
77	73, 76	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
78	75, 76, 77	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
79		muladd11 10206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
80	73, 76, 79	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
81	78, 80	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
82	21, 64, 81	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
83	72, 82	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
84	83	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
85	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
86	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
87	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
88		neg1rr 11125	. . . . . . . . . . . . . . . 16
89		leadd2 10497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
90	88, 36, 89	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . . . . . 15
91		1pneg1e0 11129	. . . . . . . . . . . . . . . 16
92	91	breq1i 4660	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	90, 92	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . 14
94	93	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
95	94	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
96		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
97	85, 86, 87, 95, 96	lemul1ad 10963	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
98	45, 50, 54, 84, 97	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
99		adddi 10025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
100	27, 99	mp3an3 1413	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
101		mulid1 10037	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
102	101	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
103	102	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
104	100, 103	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
105	104	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
106		addass 10023	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
107	27, 106	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
108	73, 76, 107	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
109	105, 108	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
110	21, 64, 109	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 $/\$
111	110	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
112	27, 21, 28	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12
113		expp1 12867	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
114	112, 113	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$
115	114	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
116	98, 111, 115	3brtr4d 4685	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
117	116	exp43 640	. . . . . . . 8
118	117	com12 32	. . . . . . 7
119	118	impd 447	. . . . . 6 $/\$
120	119	a2d 29	. . . . 5 $/\$ $/\$
121	5, 10, 15, 20, 35, 120	nn0ind 11472	. . . 4 $/\$
122	121	expd 452	. . 3
123	122	com12 32	. 2
124	123	3imp 1256	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990 class class class wbr 4653 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cle 10075

cneg 10267

cn0 11292

cexp 12860

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-seq 12802 df-exp 12861

This theorem is referenced by: bernneq2 12991 stoweidlem1 40218 stoweidlem10 40227 stoweidlem42 40259

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