Theorem exp0 12864

Description: Value of a complex number raised to the 0th power. Note that under our definition, 0↑0 = 1, following the convention used by Gleason. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
exp0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11388	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		expval 12862	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
3	1, 2	mpan2 707	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
4		eqid 2622	. . 3 ⊢ 0 = 0
5	4	iftruei 4093	. 2 ⊢ if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))) = 1
6	3, 5	syl6eq 2672	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ifcif 4086  {csn 4177   class class class wbr 4653   × cxp 5112  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941   < clt 10074  -cneg 10267   / cdiv 10684  ℕcn 11020  ℤcz 11377  seqcseq 12801  ↑cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-neg 10269  df-z 11378  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  0exp0e1  12865  expp1  12867  expneg  12868  expcllem  12871  mulexp  12899  expadd  12902  expmul  12905  leexp1a  12919  exple1  12920  bernneq  12990  modexp  12999  exp0d  13002  faclbnd4lem1  13080  faclbnd4lem3  13082  faclbnd4lem4  13083  cjexp  13890  absexp  14044  binom  14562  incexclem  14568  incexc  14569  climcndslem1  14581  fprodconst  14708  fallfac0  14759  bpoly0  14781  ege2le3  14820  eft0val  14842  demoivreALT  14931  pwp1fsum  15114  bits0  15150  0bits  15161  bitsinv1  15164  sadcadd  15180  smumullem  15214  numexp0  15780  psgnunilem4  17917  psgn0fv0  17931  psgnsn  17940  psgnprfval1  17942  cnfldexp  19779  expmhm  19815  expcn  22675  iblcnlem1  23554  itgcnlem  23556  dvexp  23716  dvexp2  23717  plyconst  23962  0dgr  24001  0dgrb  24002  aaliou3lem2  24098  cxp0  24416  1cubr  24569  log2ublem3  24675  basellem2  24808  basellem5  24811  lgsquad2lem2  25110  0dp2dp  29617  oddpwdc  30416  breprexp  30711  subfacval2  31169  fwddifn0  32271  stoweidlem19  40236  fmtno0  41452  pwdif  41501  bits0ALTV  41590  0dig2nn0e  42406  0dig2nn0o  42407  nn0sumshdiglemA  42413  nn0sumshdiglemB  42414  nn0sumshdiglem1  42415  nn0sumshdiglem2  42416