Theorem reexpcl 12877

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 9993	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 10021	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 10039	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 12871	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  ℕ₀cn0 11292  ↑cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  expgt1  12898  leexp2r  12918  leexp1a  12919  resqcl  12931  bernneq  12990  bernneq3  12992  expnbnd  12993  expnlbnd  12994  expmulnbnd  12996  digit2  12997  digit1  12998  reexpcld  13025  faclbnd  13077  faclbnd2  13078  faclbnd3  13079  faclbnd4lem1  13080  faclbnd5  13085  faclbnd6  13086  geomulcvg  14607  reeftcl  14805  ege2le3  14820  eftlub  14839  eflegeo  14851  resin4p  14868  recos4p  14869  ef01bndlem  14914  sin01bnd  14915  cos01bnd  14916  sin01gt0  14920  rpnnen2lem2  14944  rpnnen2lem4  14946  rpnnen2lem11  14953  powm2modprm  15508  prmreclem6  15625  mbfi1fseqlem6  23487  aaliou3lem8  24100  radcnvlem1  24167  abelthlem5  24189  abelthlem7  24192  tangtx  24257  advlogexp  24401  logtayllem  24405  leibpilem2  24668  leibpi  24669  leibpisum  24670  basellem3  24809  chtublem  24936  logexprlim  24950  dchrisum0flblem1  25197  pntlem3  25298  ostth2lem1  25307  ostth2lem3  25324  ostth3  25327  hgt750lem  30729  tgoldbachgnn  30737  subfacval2  31169  nn0prpw  32318  mblfinlem1  33446  mblfinlem2  33447  bfplem1  33621  rpexpmord  37513  tgoldbach  41705  tgoldbachOLD  41712  dignn0fr  42395  digexp  42401  dig2bits  42408