Theorem blometi 27658

Description: Upper bound for the distance between the values of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
blometi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
blometi.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
blometi.8	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
blometi.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
blometi.6	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
blometi.7	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
blometi.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
blometi.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
blometi	⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝑃𝐶𝑄)))

Proof of Theorem blometi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blometi.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		blometi.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
4	2, 3	nvmcl 27501	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄) ∈ 𝑋)
5	1, 4	mp3an1 1411	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄) ∈ 𝑋)
6		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
7		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (normCV‘𝑊) = (normCV‘𝑊)
8		blometi.6	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
9		blometi.7	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
10		blometi.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
11	2, 6, 7, 8, 9, 1, 10	nmblolbi 27655	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄) ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))) ≤ ((𝑁‘𝑇) · ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))))
12	5, 11	sylan2 491	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))) ≤ ((𝑁‘𝑇) · ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))))
13	12	3impb 1260	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))) ≤ ((𝑁‘𝑇) · ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))))
14		blometi.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
15	2, 14, 9	blof 27640	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇:𝑋⟶𝑌)
16	1, 10, 15	mp3an12 1414	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇:𝑋⟶𝑌)
17	16	ffvelrnda 6359	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑃) ∈ 𝑌)
18	17	3adant3 1081	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑃) ∈ 𝑌)
19	16	ffvelrnda 6359	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑄) ∈ 𝑌)
20	19	3adant2 1080	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑄) ∈ 𝑌)
21		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑊) = ( −𝑣 ‘𝑊)
22		blometi.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
23	14, 21, 7, 22	imsdval 27541	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑃) ∈ 𝑌 ∧ (𝑇‘𝑄) ∈ 𝑌) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))))
24	10, 23	mp3an1 1411	. . . 4 ⊢ (((𝑇‘𝑃) ∈ 𝑌 ∧ (𝑇‘𝑄) ∈ 𝑌) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))))
25	18, 20, 24	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))))
26		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
27	26, 9	bloln 27639	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
28	1, 10, 27	mp3an12 1414	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
29	2, 3, 21, 26	lnosub 27614	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
30	1, 29	mp3anl1 1418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
31	10, 30	mpanl1 716	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
32	31	3impb 1260	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
33	28, 32	syl3an1 1359	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
34	33	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))))
35	25, 34	eqtr4d 2659	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))))
36		blometi.8	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
37	2, 3, 6, 36	imsdval 27541	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐶𝑄) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)))
38	1, 37	mp3an1 1411	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐶𝑄) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)))
39	38	3adant1 1079	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐶𝑄) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)))
40	39	oveq2d 6666	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝑇) · (𝑃𝐶𝑄)) = ((𝑁‘𝑇) · ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))))
41	13, 35, 40	3brtr4d 4685	1 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝑃𝐶𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   · cmul 9941   ≤ cle 10075  NrmCVeccnv 27439  BaseSetcba 27441   −_𝑣 cnsb 27444  norm_CVcnmcv 27445  IndMetcims 27446   LnOp clno 27595   normOp_OLD cnmoo 27596   BLnOp cblo 27597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-lno 27599  df-nmoo 27600  df-blo 27601  df-0o 27602

This theorem is referenced by:  blocni  27660