Theorem blometi 27658

Description: Upper bound for the distance between the values of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
blometi.1	|- X = ( BaseSet ` U )
blometi.2	|- Y = ( BaseSet ` W )
blometi.8	|- C = ( IndMet ` U )
blometi.d	|- D = ( IndMet ` W )
blometi.6	|- N = ( U normOpOLD W )
blometi.7	|- B = ( U BLnOp W )
blometi.u	|- U e. NrmCVec
blometi.w	|- W e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
blometi	|- ( ( T e. B /\ P e. X /\ Q e. X ) -> ( ( T ` P ) D ( T ` Q ) ) <_ ( ( N ` T ) x. ( P C Q ) ) )

Proof of Theorem blometi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blometi.u	. . . . 5 |- U e. NrmCVec
2		blometi.1	. . . . . 6 |- X = ( BaseSet ` U )
3		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( -v ` U ) = ( -v ` U )
4	2, 3	nvmcl 27501	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ P e. X /\ Q e. X ) -> ( P ( -v ` U ) Q ) e. X )
5	1, 4	mp3an1 1411	. . . 4 |- ( ( P e. X /\ Q e. X ) -> ( P ( -v ` U ) Q ) e. X )
6		eqid 2622	. . . . 5 |- ( normCV ` U ) = ( normCV ` U )
7		eqid 2622	. . . . 5 |- ( normCV ` W ) = ( normCV ` W )
8		blometi.6	. . . . 5 |- N = ( U normOpOLD W )
9		blometi.7	. . . . 5 |- B = ( U BLnOp W )
10		blometi.w	. . . . 5 |- W e. NrmCVec
11	2, 6, 7, 8, 9, 1, 10	nmblolbi 27655	. . . 4 |- ( ( T e. B /\ ( P ( -v ` U ) Q ) e. X ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( P ( -v ` U ) Q ) ) ) <_ ( ( N ` T ) x. ( ( normCV ` U ) ` ( P ( -v ` U ) Q ) ) ) )
12	5, 11	sylan2 491	. . 3 |- ( ( T e. B /\ ( P e. X /\ Q e. X ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( P ( -v ` U ) Q ) ) ) <_ ( ( N ` T ) x. ( ( normCV ` U ) ` ( P ( -v ` U ) Q ) ) ) )
13	12	3impb 1260	. 2 |- ( ( T e. B /\ P e. X /\ Q e. X ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( P ( -v ` U ) Q ) ) ) <_ ( ( N ` T ) x. ( ( normCV ` U ) ` ( P ( -v ` U ) Q ) ) ) )
14		blometi.2	. . . . . . . 8 |- Y = ( BaseSet ` W )
15	2, 14, 9	blof 27640	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. B ) -> T : X --> Y )
16	1, 10, 15	mp3an12 1414	. . . . . 6 |- ( T e. B -> T : X --> Y )
17	16	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( T e. B /\ P e. X ) -> ( T ` P ) e. Y )
18	17	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( T e. B /\ P e. X /\ Q e. X ) -> ( T ` P ) e. Y )
19	16	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( T e. B /\ Q e. X ) -> ( T ` Q ) e. Y )
20	19	3adant2 1080	. . . 4 |- ( ( T e. B /\ P e. X /\ Q e. X ) -> ( T ` Q ) e. Y )
21		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( -v ` W ) = ( -v ` W )
22		blometi.d	. . . . . 6 |- D = ( IndMet ` W )
23	14, 21, 7, 22	imsdval 27541	. . . . 5 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( T ` P ) e. Y /\ ( T ` Q ) e. Y ) -> ( ( T ` P ) D ( T ` Q ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( ( T ` P ) ( -v ` W ) ( T ` Q ) ) ) )
24	10, 23	mp3an1 1411	. . . 4 |- ( ( ( T ` P ) e. Y /\ ( T ` Q ) e. Y ) -> ( ( T ` P ) D ( T ` Q ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( ( T ` P ) ( -v ` W ) ( T ` Q ) ) ) )
25	18, 20, 24	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( T e. B /\ P e. X /\ Q e. X ) -> ( ( T ` P ) D ( T ` Q ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( ( T ` P ) ( -v ` W ) ( T ` Q ) ) ) )
26		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( U LnOp W ) = ( U LnOp W )
27	26, 9	bloln 27639	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. B ) -> T e. ( U LnOp W ) )
28	1, 10, 27	mp3an12 1414	. . . . 5 |- ( T e. B -> T e. ( U LnOp W ) )
29	2, 3, 21, 26	lnosub 27614	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. ( U LnOp W ) ) /\ ( P e. X /\ Q e. X ) ) -> ( T ` ( P ( -v ` U ) Q ) ) = ( ( T ` P ) ( -v ` W ) ( T ` Q ) ) )
30	1, 29	mp3anl1 1418	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. NrmCVec /\ T e. ( U LnOp W ) ) /\ ( P e. X /\ Q e. X ) ) -> ( T ` ( P ( -v ` U ) Q ) ) = ( ( T ` P ) ( -v ` W ) ( T ` Q ) ) )
31	10, 30	mpanl1 716	. . . . . 6 |- ( ( T e. ( U LnOp W ) /\ ( P e. X /\ Q e. X ) ) -> ( T ` ( P ( -v ` U ) Q ) ) = ( ( T ` P ) ( -v ` W ) ( T ` Q ) ) )
32	31	3impb 1260	. . . . 5 |- ( ( T e. ( U LnOp W ) /\ P e. X /\ Q e. X ) -> ( T ` ( P ( -v ` U ) Q ) ) = ( ( T ` P ) ( -v ` W ) ( T ` Q ) ) )
33	28, 32	syl3an1 1359	. . . 4 |- ( ( T e. B /\ P e. X /\ Q e. X ) -> ( T ` ( P ( -v ` U ) Q ) ) = ( ( T ` P ) ( -v ` W ) ( T ` Q ) ) )
34	33	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( T e. B /\ P e. X /\ Q e. X ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( P ( -v ` U ) Q ) ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( ( T ` P ) ( -v ` W ) ( T ` Q ) ) ) )
35	25, 34	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ( T e. B /\ P e. X /\ Q e. X ) -> ( ( T ` P ) D ( T ` Q ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( P ( -v ` U ) Q ) ) ) )
36		blometi.8	. . . . . 6 |- C = ( IndMet ` U )
37	2, 3, 6, 36	imsdval 27541	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ P e. X /\ Q e. X ) -> ( P C Q ) = ( ( normCV ` U ) ` ( P ( -v ` U ) Q ) ) )
38	1, 37	mp3an1 1411	. . . 4 |- ( ( P e. X /\ Q e. X ) -> ( P C Q ) = ( ( normCV ` U ) ` ( P ( -v ` U ) Q ) ) )
39	38	3adant1 1079	. . 3 |- ( ( T e. B /\ P e. X /\ Q e. X ) -> ( P C Q ) = ( ( normCV ` U ) ` ( P ( -v ` U ) Q ) ) )
40	39	oveq2d 6666	. 2 |- ( ( T e. B /\ P e. X /\ Q e. X ) -> ( ( N ` T ) x. ( P C Q ) ) = ( ( N ` T ) x. ( ( normCV ` U ) ` ( P ( -v ` U ) Q ) ) ) )
41	13, 35, 40	3brtr4d 4685	1 |- ( ( T e. B /\ P e. X /\ Q e. X ) -> ( ( T ` P ) D ( T ` Q ) ) <_ ( ( N ` T ) x. ( P C Q ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   x. cmul 9941   <_ cle 10075   NrmCVeccnv 27439   BaseSetcba 27441   -vcnsb 27444   norm_CVcnmcv 27445   IndMetcims 27446   LnOp clno 27595   normOpOLDcnmoo 27596   BLnOp cblo 27597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-lno 27599  df-nmoo 27600  df-blo 27601  df-0o 27602

This theorem is referenced by:  blocni  27660