Theorem caucfil 23081

Description: A Cauchy sequence predicate can be expressed in terms of the Cauchy filter predicate for a suitably chosen filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucfil.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
caucfil.2	⊢ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ≥ “ 𝑍))

Assertion

Ref	Expression
caucfil	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷)))

Proof of Theorem caucfil

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1039	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
2		caucfil.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
4	3	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
5		simpll3 1102	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
6		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑍⟶𝑋 → dom 𝐹 = 𝑍)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → dom 𝐹 = 𝑍)
8	4, 7	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
9	5, 4	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
10	8, 9	jca 554	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋))
11	10	biantrurd 529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
12		uzss 11708	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (ℤ≥‘𝑘) ⊆ (ℤ≥‘𝑗))
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (ℤ≥‘𝑘) ⊆ (ℤ≥‘𝑗))
14	13	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)))
15	14	pm4.71rd 667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘))))
16	15	imbi1d 331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
17		impexp 462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
18	16, 17	syl6bb 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))))
19	18	ralbidv2 2984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
20	11, 19	bitr3d 270	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
21	1, 20	syl5bb 272	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
22	21	ralbidva 2985	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
23		r19.26-2 3065	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)))
24		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑘 → (𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
25		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑘 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑘))
26	25	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) = ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)))
27	26	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
28	24, 27	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑘 → ((𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)))
29	28	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
30	29	ralbii 2980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
31		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (ℤ≥‘𝑚) = (ℤ≥‘𝑘))
32	31	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ↔ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
33		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
34	33	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑢)))
35	34	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥))
36	32, 35	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥) ↔ (𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥)))
37		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑚 → (𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
38		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑚 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑚))
39	38	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑢)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)))
40	39	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑚 → (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
41	37, 40	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑚 → ((𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
42	36, 41	cbvral2v 3179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
43		ralcom 3098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
44	30, 42, 43	3bitr3i 290	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
45	44	anbi2i 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)))
46		anidm 676	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
47	23, 45, 46	3bitr2i 288	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
48		simpll1 1100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
49		simpll3 1102	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
50	2	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑚 ∈ 𝑍)
51	50	ad2ant2l 782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑚 ∈ 𝑍)
52	49, 51	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋)
53	9	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
54		xmetsym 22152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)))
55	48, 52, 53, 54	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)))
56	55	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
57	56	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
58	57	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)) ↔ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))))
59		jaob 822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
60		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
61		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑚 ∈ ℤ)
62		uztric 11709	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
63	60, 61, 62	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
64	63	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
65		pm5.5 351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → (((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
67	59, 66	syl5bbr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
68	58, 67	bitrd 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
69	68	2ralbidva 2988	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
70	47, 69	syl5bbr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
71	22, 70	bitrd 268	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
72	71	rexbidva 3049	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
73		uzf 11690	. . . . . 6 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
74		ffn 6045	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ≥ Fn ℤ)
75	73, 74	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℤ≥ Fn ℤ
76		uzssz 11707	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
77	2, 76	eqsstri 3635	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
78		raleq 3138	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
79	78	raleqbi1dv 3146	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
80	79	rexima 6497	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥ Fn ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ) → (∃𝑢 ∈ (ℤ≥ “ 𝑍)∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
81	75, 77, 80	mp2an 708	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ (ℤ≥ “ 𝑍)∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)
82	72, 81	syl6bbr 278	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∃𝑢 ∈ (ℤ≥ “ 𝑍)∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
83	82	ralbidv 2986	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ (ℤ≥ “ 𝑍)∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
84		elfvdm 6220	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
85	84	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
86		cnex 10017	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
87	85, 86	jctir 561	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V))
88		zsscn 11385	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
89	77, 88	sstri 3612	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ⊆ ℂ
90	89	jctr 565	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑍⟶𝑋 → (𝐹:𝑍⟶𝑋 ∧ 𝑍 ⊆ ℂ))
91		elpm2r 7875	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍⟶𝑋 ∧ 𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
92	87, 90, 91	syl2an 494	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
93		simpl 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
94		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
95	2, 93, 94	iscau3 23076	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))))
96	95	baibd 948	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
97	92, 96	syldan 487	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
98	97	3impa 1259	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
99		caucfil.2	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ≥ “ 𝑍))
100	99	eleq1i 2692	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ≥ “ 𝑍)) ∈ (CauFil‘𝐷))
101	2	uzfbas 21702	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥ “ 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))
102		fmcfil 23070	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (ℤ≥ “ 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ≥ “ 𝑍)) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ (ℤ≥ “ 𝑍)∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
103	101, 102	syl3an2 1360	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ≥ “ 𝑍)) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ (ℤ≥ “ 𝑍)∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
104	100, 103	syl5bb 272	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ (ℤ≥ “ 𝑍)∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
105	83, 98, 104	3bitr4d 300	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  𝒫 cpw 4158   class class class wbr 4653  dom cdm 5114   “ cima 5117   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↑_pm cpm 7858  ℂcc 9934   < clt 10074  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ℝ⁺crp 11832  ∞Metcxmt 19731  fBascfbas 19734   FilMap cfm 21737  CauFilccfil 23050  Caucca 23051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-rest 16083  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-bl 19741  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-fil 21650  df-fm 21742  df-cfil 23053  df-cau 23054

This theorem is referenced by:  cmetcaulem  23086