MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caucfil Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem caucfil 23081
Description: A Cauchy sequence predicate can be expressed in terms of the Cauchy filter predicate for a suitably chosen filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
caucfil.1 |- Z = ( ZZ>= ` M )
caucfil.2 |- L = ( ( X FilMap F ) ` ( ZZ>= " Z ) )
Assertion
Ref Expression
caucfil |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> L e. (CauFil ` D ) ) )
Proof of Theorem caucfil
Dummy variables j k m u x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 1039 . . . . . . . 8 |- ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) <-> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
2 caucfil.1 . . . . . . . . . . . . . 14 |- Z = ( ZZ>= ` M )
32uztrn2 11705 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
43adantll 750 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
5 simpll3 1102 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> F : Z --> X )
6 fdm 6051 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : Z --> X -> dom F = Z )
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> dom F = Z )
84, 7eleqtrrd 2704 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. dom F )
95, 4ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. X )
108, 9jca 554 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) )
1110biantrurd 529 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x <-> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) )
12 uzss 11708 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` j ) )
1312adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` j ) )
1413sseld 3602 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> m e. ( ZZ>= ` j ) ) )
1514pm4.71rd 667 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( m e. ( ZZ>= ` k ) <-> ( m e. ( ZZ>= ` j ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) ) )
1615imbi1d 331 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) <-> ( ( m e. ( ZZ>= ` j ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) )
17 impexp 462 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. ( ZZ>= ` j ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) <-> ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) )
1816, 17syl6bb 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) <-> ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) ) )
1918ralbidv2 2984 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x <-> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) )
2011, 19bitr3d 270 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) )
211, 20syl5bb 272 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) )
2221ralbidva 2985 . . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) )
23 r19.26-2 3065 . . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) /\ ( k e. ( ZZ>= ` m ) -> ( ( F ` m ) D ( F ` k ) ) < x ) ) <-> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. ( ZZ>= ` m ) -> ( ( F ` m ) D ( F ` k ) ) < x ) ) )
24 eleq1 2689 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = k -> ( u e. ( ZZ>= ` m ) <-> k e. ( ZZ>= ` m ) ) )
25 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = k -> ( F ` u ) = ( F ` k ) )
2625oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = k -> ( ( F ` m ) D ( F ` u ) ) = ( ( F ` m ) D ( F ` k ) ) )
2726breq1d 4663 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = k -> ( ( ( F ` m ) D ( F ` u ) ) < x <-> ( ( F ` m ) D ( F ` k ) ) < x ) )
2824, 27imbi12d 334 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u = k -> ( ( u e. ( ZZ>= ` m ) -> ( ( F ` m ) D ( F ` u ) ) < x ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` m ) -> ( ( F ` m ) D ( F ` k ) ) < x ) ) )
2928cbvralv 3171 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. u e. ( ZZ>= ` j ) ( u e. ( ZZ>= ` m ) -> ( ( F ` m ) D ( F ` u ) ) < x ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. ( ZZ>= ` m ) -> ( ( F ` m ) D ( F ` k ) ) < x ) )
3029ralbii 2980 . . . . . . . . . 10 |- ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. u e. ( ZZ>= ` j ) ( u e. ( ZZ>= ` m ) -> ( ( F ` m ) D ( F ` u ) ) < x ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. ( ZZ>= ` m ) -> ( ( F ` m ) D ( F ` k ) ) < x ) )
31 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = k -> ( ZZ>= ` m ) = ( ZZ>= ` k ) )
3231eleq2d 2687 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = k -> ( u e. ( ZZ>= ` m ) <-> u e. ( ZZ>= ` k ) ) )
33 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = k -> ( F ` m ) = ( F ` k ) )
3433oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = k -> ( ( F ` m ) D ( F ` u ) ) = ( ( F ` k ) D ( F ` u ) ) )
3534breq1d 4663 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = k -> ( ( ( F ` m ) D ( F ` u ) ) < x <-> ( ( F ` k ) D ( F ` u ) ) < x ) )
3632, 35imbi12d 334 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = k -> ( ( u e. ( ZZ>= ` m ) -> ( ( F ` m ) D ( F ` u ) ) < x ) <-> ( u e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` u ) ) < x ) ) )
37 eleq1 2689 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u = m -> ( u e. ( ZZ>= ` k ) <-> m e. ( ZZ>= ` k ) ) )
38 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = m -> ( F ` u ) = ( F ` m ) )
3938oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = m -> ( ( F ` k ) D ( F ` u ) ) = ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) )
4039breq1d 4663 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u = m -> ( ( ( F ` k ) D ( F ` u ) ) < x <-> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
4137, 40imbi12d 334 . . . . . . . . . . 11 |- ( u = m -> ( ( u e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` u ) ) < x ) <-> ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) )
4236, 41cbvral2v 3179 . . . . . . . . . 10 |- ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. u e. ( ZZ>= ` j ) ( u e. ( ZZ>= ` m ) -> ( ( F ` m ) D ( F ` u ) ) < x ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
43 ralcom 3098 . . . . . . . . . 10 |- ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. ( ZZ>= ` m ) -> ( ( F ` m ) D ( F ` k ) ) < x ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. ( ZZ>= ` m ) -> ( ( F ` m ) D ( F ` k ) ) < x ) )
4430, 42, 433bitr3i 290 . . . . . . . . 9 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. ( ZZ>= ` m ) -> ( ( F ` m ) D ( F ` k ) ) < x ) )
4544anbi2i 730 . . . . . . . 8 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) <-> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. ( ZZ>= ` m ) -> ( ( F ` m ) D ( F ` k ) ) < x ) ) )
46 anidm 676 . . . . . . . 8 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
4723, 45, 463bitr2i 288 . . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) /\ ( k e. ( ZZ>= ` m ) -> ( ( F ` m ) D ( F ` k ) ) < x ) ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
48 simpll1 1100 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) /\ ( k e. ( ZZ>= ` j ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
49 simpll3 1102 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) /\ ( k e. ( ZZ>= ` j ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> F : Z --> X )
502uztrn2 11705 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. Z /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> m e. Z )
5150ad2ant2l 782 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) /\ ( k e. ( ZZ>= ` j ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> m e. Z )
5249, 51ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) /\ ( k e. ( ZZ>= ` j ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( F ` m ) e. X )
539adantrr 753 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) /\ ( k e. ( ZZ>= ` j ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( F ` k ) e. X )
54 xmetsym 22152 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( F ` m ) e. X /\ ( F ` k ) e. X ) -> ( ( F ` m ) D ( F ` k ) ) = ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) )
5548, 52, 53, 54syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) /\ ( k e. ( ZZ>= ` j ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( F ` m ) D ( F ` k ) ) = ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) )
5655breq1d 4663 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) /\ ( k e. ( ZZ>= ` j ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( ( F ` m ) D ( F ` k ) ) < x <-> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
5756imbi2d 330 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) /\ ( k e. ( ZZ>= ` j ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` m ) -> ( ( F ` m ) D ( F ` k ) ) < x ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` m ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) )
5857anbi2d 740 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) /\ ( k e. ( ZZ>= ` j ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) /\ ( k e. ( ZZ>= ` m ) -> ( ( F ` m ) D ( F ` k ) ) < x ) ) <-> ( ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) /\ ( k e. ( ZZ>= ` m ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) ) )
59 jaob 822 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( m e. ( ZZ>= ` k ) \/ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) <-> ( ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) /\ ( k e. ( ZZ>= ` m ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) )
60 eluzelz 11697 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> k e. ZZ )
61 eluzelz 11697 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> m e. ZZ )
62 uztric 11709 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( m e. ( ZZ>= ` k ) \/ k e. ( ZZ>= ` m ) ) )
6360, 61, 62syl2an 494 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` j ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( m e. ( ZZ>= ` k ) \/ k e. ( ZZ>= ` m ) ) )
6463adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) /\ ( k e. ( ZZ>= ` j ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( m e. ( ZZ>= ` k ) \/ k e. ( ZZ>= ` m ) ) )
65 pm5.5 351 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` k ) \/ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( ( m e. ( ZZ>= ` k ) \/ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) <-> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) /\ ( k e. ( ZZ>= ` j ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( ( m e. ( ZZ>= ` k ) \/ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) <-> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
6759, 66syl5bbr 274 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) /\ ( k e. ( ZZ>= ` j ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) /\ ( k e. ( ZZ>= ` m ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) <-> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
6858, 67bitrd 268 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) /\ ( k e. ( ZZ>= ` j ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) /\ ( k e. ( ZZ>= ` m ) -> ( ( F ` m ) D ( F ` k ) ) < x ) ) <-> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
69682ralbidva 2988 . . . . . . 7 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) /\ ( k e. ( ZZ>= ` m ) -> ( ( F ` m ) D ( F ` k ) ) < x ) ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
7047, 69syl5bbr 274 . . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( m e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
7122, 70bitrd 268 . . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
7271rexbidva 3049 . . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
73 uzf 11690 . . . . . 6 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
74 ffn 6045 . . . . . 6 |- ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ -> ZZ>= Fn ZZ )
7573, 74ax-mp 5 . . . . 5 |- ZZ>= Fn ZZ
76 uzssz 11707 . . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
772, 76eqsstri 3635 . . . . 5 |- Z C_ ZZ
78 raleq 3138 . . . . . . 7 |- ( u = ( ZZ>= ` j ) -> ( A. m e. u ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x <-> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
7978raleqbi1dv 3146 . . . . . 6 |- ( u = ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. u A. m e. u ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
8079rexima 6497 . . . . 5 |- ( ( ZZ>= Fn ZZ /\ Z C_ ZZ ) -> ( E. u e. ( ZZ>= " Z ) A. k e. u A. m e. u ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
8175, 77, 80mp2an 708 . . . 4 |- ( E. u e. ( ZZ>= " Z ) A. k e. u A. m e. u ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x )
8272, 81syl6bbr 278 . . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) <-> E. u e. ( ZZ>= " Z ) A. k e. u A. m e. u ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
8382ralbidv 2986 . 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. u e. ( ZZ>= " Z ) A. k e. u A. m e. u ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
84 elfvdm 6220 . . . . . . 7 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
8584adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ ) -> X e. dom *Met )
86 cnex 10017 . . . . . 6 |- CC e. _V
8785, 86jctir 561 . . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ ) -> ( X e. dom *Met /\ CC e. _V ) )
88 zsscn 11385 . . . . . . 7 |- ZZ C_ CC
8977, 88sstri 3612 . . . . . 6 |- Z C_ CC
9089jctr 565 . . . . 5 |- ( F : Z --> X -> ( F : Z --> X /\ Z C_ CC ) )
91 elpm2r 7875 . . . . 5 |- ( ( ( X e. dom *Met /\ CC e. _V ) /\ ( F : Z --> X /\ Z C_ CC ) ) -> F e. ( X ^pm CC ) )
9287, 90, 91syl2an 494 . . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ ) /\ F : Z --> X ) -> F e. ( X ^pm CC ) )
93 simpl 473 . . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ ) -> D e. ( *Met ` X ) )
94 simpr 477 . . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ ) -> M e. ZZ )
952, 93, 94iscau3 23076 . . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ ) -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) ) )
9695baibd 948 . . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ ) /\ F e. ( X ^pm CC ) ) -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) )
9792, 96syldan 487 . . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ ) /\ F : Z --> X ) -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) )
98973impa 1259 . 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) )
99 caucfil.2 . . . 4 |- L = ( ( X FilMap F ) ` ( ZZ>= " Z ) )
10099eleq1i 2692 . . 3 |- ( L e. (CauFil ` D ) <-> ( ( X FilMap F ) ` ( ZZ>= " Z ) ) e. (CauFil ` D ) )
1012uzfbas 21702 . . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= " Z ) e. ( fBas ` Z ) )
102 fmcfil 23070 . . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( ZZ>= " Z ) e. ( fBas ` Z ) /\ F : Z --> X ) -> ( ( ( X FilMap F ) ` ( ZZ>= " Z ) ) e. (CauFil ` D ) <-> A. x e. RR+ E. u e. ( ZZ>= " Z ) A. k e. u A. m e. u ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
103101, 102syl3an2 1360 . . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) -> ( ( ( X FilMap F ) ` ( ZZ>= " Z ) ) e. (CauFil ` D ) <-> A. x e. RR+ E. u e. ( ZZ>= " Z ) A. k e. u A. m e. u ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
104100, 103syl5bb 272 . 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) -> ( L e. (CauFil ` D ) <-> A. x e. RR+ E. u e. ( ZZ>= " Z ) A. k e. u A. m e. u ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
10583, 98, 1043bitr4d 300 1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M e. ZZ /\ F : Z --> X ) -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> L e. (CauFil ` D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   < clt 10074   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   *Metcxmt 19731   fBascfbas 19734   FilMap cfm 21737  CauFilccfil 23050   Caucca 23051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-rest 16083  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-bl 19741  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-fil 21650  df-fm 21742  df-cfil 23053  df-cau 23054
This theorem is referenced by:  cmetcaulem  23086
  Copyright terms: Public domain W3C validator