Theorem coe1mul2lem2 19638

Description: An equivalence for coe1mul2 19639. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
coe1mul2lem2.h	⊢ 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑 ∘𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})}

Assertion

Ref	Expression
coe1mul2lem2	⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘))

Distinct variable groups:   𝐻,𝑐   𝑐,𝑑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑘,𝑑)

Proof of Theorem coe1mul2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 7572	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 = {∅}
2		nn0ex 11298	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		0ex 4790	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
4		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) = (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅))
5	1, 2, 3, 4	mapsnf1o2 7905	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0
6		f1of1 6136	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–1-1→ℕ0)
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–1-1→ℕ0
8		coe1mul2lem2.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑 ∘𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})}
9		ssrab2 3687	. . . . 5 ⊢ {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑 ∘𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})} ⊆ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)
10	8, 9	eqsstri 3635	. . . 4 ⊢ 𝐻 ⊆ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝐻 ⊆ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜))
12		f1ores 6151	. . 3 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–1-1→ℕ0 ∧ 𝐻 ⊆ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
13	7, 11, 12	sylancr 695	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
14		coe1mul2lem1 19637	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑑 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (𝑑 ∘𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘}) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
15	14	rabbidva 3188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑 ∘𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})} = {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)})
16		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑐‘∅) = (𝑑‘∅))
17	16	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → ((𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
18	17	cbvrabv 3199	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)} = {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)}
19	15, 18	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑 ∘𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})} = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)})
20	4	mptpreima 5628	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)) = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)}
21	19, 8, 20	3eqtr4g 2681	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝐻 = (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)))
22	21	imaeq2d 5466	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))))
23		f1ofo 6144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0)
24	5, 23	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0
25		fz0ssnn0 12435	. . . . . 6 ⊢ (0...𝑘) ⊆ ℕ0
26		foimacnv 6154	. . . . . 6 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0 ∧ (0...𝑘) ⊆ ℕ0) → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘))
27	24, 25, 26	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘)
28	22, 27	syl6eq 2672	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = (0...𝑘))
29	28	f1oeq3d 6134	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘)))
30		resmpt 5449	. . . 4 ⊢ (𝐻 ⊆ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)))
31		f1oeq1 6127	. . . 4 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)) → (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘)))
32	11, 30, 31	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘)))
33	29, 32	bitrd 268	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘)))
34	13, 33	mpbid 222	1 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {crab 2916   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {csn 4177   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112  ^◡ccnv 5113   ↾ cres 5116   “ cima 5117  –1-1→wf1 5885  –onto→wfo 5886  –1-1-onto→wf1o 5887  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑟 cofr 6896  1_𝑜c1o 7553   ↑_𝑚 cmap 7857  0cc0 9936   ≤ cle 10075  ℕ₀cn0 11292  ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  coe1mul2  19639