Theorem coe1mul2lem2 19638

Description: An equivalence for coe1mul2 19639. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
coe1mul2lem2.h	|- H = { d e. ( NN0 ^m 1o ) | d oR <_ ( 1o X. { k } ) }

Assertion

Ref	Expression
coe1mul2lem2	|- ( k e. NN0 -> ( c e. H |-> ( c ` (/) ) ) : H -1-1-onto-> ( 0 ... k ) )

Distinct variable groups:   H, c   c, d, k

Allowed substitution hints:   H( k, d)

Proof of Theorem coe1mul2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 7572	. . . . 5 |- 1o = { (/) }
2		nn0ex 11298	. . . . 5 |- NN0 e. _V
3		0ex 4790	. . . . 5 |- (/) e. _V
4		eqid 2622	. . . . 5 |- ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) = ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) )
5	1, 2, 3, 4	mapsnf1o2 7905	. . . 4 |- ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) : ( NN0 ^m 1o ) -1-1-onto-> NN0
6		f1of1 6136	. . . 4 |- ( ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) : ( NN0 ^m 1o ) -1-1-onto-> NN0 -> ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) : ( NN0 ^m 1o ) -1-1-> NN0 )
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 |- ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) : ( NN0 ^m 1o ) -1-1-> NN0
8		coe1mul2lem2.h	. . . . 5 |- H = { d e. ( NN0 ^m 1o ) | d oR <_ ( 1o X. { k } ) }
9		ssrab2 3687	. . . . 5 |- { d e. ( NN0 ^m 1o ) | d oR <_ ( 1o X. { k } ) } C_ ( NN0 ^m 1o )
10	8, 9	eqsstri 3635	. . . 4 |- H C_ ( NN0 ^m 1o )
11	10	a1i 11	. . 3 |- ( k e. NN0 -> H C_ ( NN0 ^m 1o ) )
12		f1ores 6151	. . 3 |- ( ( ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) : ( NN0 ^m 1o ) -1-1-> NN0 /\ H C_ ( NN0 ^m 1o ) ) -> ( ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) |` H ) : H -1-1-onto-> ( ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) " H ) )
13	7, 11, 12	sylancr 695	. 2 |- ( k e. NN0 -> ( ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) |` H ) : H -1-1-onto-> ( ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) " H ) )
14		coe1mul2lem1 19637	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ d e. ( NN0 ^m 1o ) ) -> ( d oR <_ ( 1o X. { k } ) <-> ( d ` (/) ) e. ( 0 ... k ) ) )
15	14	rabbidva 3188	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> { d e. ( NN0 ^m 1o ) | d oR <_ ( 1o X. { k } ) } = { d e. ( NN0 ^m 1o ) | ( d ` (/) ) e. ( 0 ... k ) } )
16		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 |- ( c = d -> ( c ` (/) ) = ( d ` (/) ) )
17	16	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( c = d -> ( ( c ` (/) ) e. ( 0 ... k ) <-> ( d ` (/) ) e. ( 0 ... k ) ) )
18	17	cbvrabv 3199	. . . . . . . 8 |- { c e. ( NN0 ^m 1o ) | ( c ` (/) ) e. ( 0 ... k ) } = { d e. ( NN0 ^m 1o ) | ( d ` (/) ) e. ( 0 ... k ) }
19	15, 18	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> { d e. ( NN0 ^m 1o ) | d oR <_ ( 1o X. { k } ) } = { c e. ( NN0 ^m 1o ) | ( c ` (/) ) e. ( 0 ... k ) } )
20	4	mptpreima 5628	. . . . . . 7 |- ( `' ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) " ( 0 ... k ) ) = { c e. ( NN0 ^m 1o ) | ( c ` (/) ) e. ( 0 ... k ) }
21	19, 8, 20	3eqtr4g 2681	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> H = ( `' ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) " ( 0 ... k ) ) )
22	21	imaeq2d 5466	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) " H ) = ( ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) " ( `' ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) " ( 0 ... k ) ) ) )
23		f1ofo 6144	. . . . . . 7 |- ( ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) : ( NN0 ^m 1o ) -1-1-onto-> NN0 -> ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) : ( NN0 ^m 1o ) -onto-> NN0 )
24	5, 23	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) : ( NN0 ^m 1o ) -onto-> NN0
25		fz0ssnn0 12435	. . . . . 6 |- ( 0 ... k ) C_ NN0
26		foimacnv 6154	. . . . . 6 |- ( ( ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) : ( NN0 ^m 1o ) -onto-> NN0 /\ ( 0 ... k ) C_ NN0 ) -> ( ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) " ( `' ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) " ( 0 ... k ) ) ) = ( 0 ... k ) )
27	24, 25, 26	mp2an 708	. . . . 5 |- ( ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) " ( `' ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) " ( 0 ... k ) ) ) = ( 0 ... k )
28	22, 27	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) " H ) = ( 0 ... k ) )
29	28	f1oeq3d 6134	. . 3 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) |` H ) : H -1-1-onto-> ( ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) " H ) <-> ( ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) |` H ) : H -1-1-onto-> ( 0 ... k ) ) )
30		resmpt 5449	. . . 4 |- ( H C_ ( NN0 ^m 1o ) -> ( ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) |` H ) = ( c e. H |-> ( c ` (/) ) ) )
31		f1oeq1 6127	. . . 4 |- ( ( ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) |` H ) = ( c e. H |-> ( c ` (/) ) ) -> ( ( ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) |` H ) : H -1-1-onto-> ( 0 ... k ) <-> ( c e. H |-> ( c ` (/) ) ) : H -1-1-onto-> ( 0 ... k ) ) )
32	11, 30, 31	3syl 18	. . 3 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) |` H ) : H -1-1-onto-> ( 0 ... k ) <-> ( c e. H |-> ( c ` (/) ) ) : H -1-1-onto-> ( 0 ... k ) ) )
33	29, 32	bitrd 268	. 2 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) |` H ) : H -1-1-onto-> ( ( c e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( c ` (/) ) ) " H ) <-> ( c e. H |-> ( c ` (/) ) ) : H -1-1-onto-> ( 0 ... k ) ) )
34	13, 33	mpbid 222	1 |- ( k e. NN0 -> ( c e. H |-> ( c ` (/) ) ) : H -1-1-onto-> ( 0 ... k ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   |` cres 5116   "cima 5117   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oRcofr 6896   1oc1o 7553   ^m cmap 7857   0cc0 9936   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  coe1mul2  19639