Theorem conngrv2edg 27055

Description: A vertex in a connected graph with more than one vertex is incident with at least one edge. Formerly part of proof for vdgn0frgrv2 27159. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
conngrv2edg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
conngrv2edg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
conngrv2edg	⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑉)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)

Distinct variable groups:   𝑒,𝐺   𝑒,𝐼   𝑒,𝑁

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem conngrv2edg

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑝 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		conngrv2edg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		fvex 6201	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2697	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
4		simp3 1063	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑉)) → 1 < (#‘𝑉))
5		simp2 1062	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑉)) → 𝑁 ∈ 𝑉)
6		hashgt12el2 13211	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 1 < (#‘𝑉) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑁 ≠ 𝑣)
7	3, 4, 5, 6	mp3an2i 1429	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑉)) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑁 ≠ 𝑣)
8	1	isconngr 27049	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ConnGraph → (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝))
9		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏) = (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏))
10	9	breqd 4664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ↔ 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝))
11	10	2exbidv 1852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝))
12		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑣 → (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏) = (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣))
13	12	breqd 4664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑣 → (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ↔ 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝))
14	13	2exbidv 1852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑣 → (∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝))
15	11, 14	rspc2v 3322	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝))
16	15	ad2ant2r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝))
17		pthontrlon 26643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → 𝑓(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑣)𝑝)
18		trlsonwlkon 26606	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → 𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝)
19		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣))) → 𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝)
20		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → 𝑁 ≠ 𝑣)
21		wlkon2n0 26562	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣) → (#‘𝑓) ≠ 0)
22	20, 21	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣))) → (#‘𝑓) ≠ 0)
23	19, 22	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣))) → (𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ (#‘𝑓) ≠ 0))
24	23	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → (𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ (#‘𝑓) ≠ 0)))
25	17, 18, 24	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → (𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ (#‘𝑓) ≠ 0)))
26		conngrv2edg.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
27	26	wlkonl1iedg 26561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ (#‘𝑓) ≠ 0) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)
28	25, 27	syl6com 37	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
29	28	exlimdvv 1862	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → (∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
30	16, 29	syldc 48	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
31	8, 30	syl6bi 243	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ ConnGraph → (𝐺 ∈ ConnGraph → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)))
32	31	pm2.43i 52	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ConnGraph → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
33	32	expd 452	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ ConnGraph → ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑉)) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)))
34	33	3impib 1262	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑉)) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
35	34	expd 452	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑉)) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑁 ≠ 𝑣 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)))
36	35	rexlimdv 3030	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑉)) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑁 ≠ 𝑣 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
37	7, 36	mpd 15	1 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑉)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   class class class wbr 4653  ran crn 5115  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   < clt 10074  #chash 13117  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  WalksOncwlkson 26493  TrailsOnctrlson 26588  PathsOncpthson 26610  ConnGraphcconngr 27046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-wlks 26495  df-wlkson 26496  df-trls 26589  df-trlson 26590  df-pths 26612  df-pthson 26614  df-conngr 27047

This theorem is referenced by:  vdn0conngrumgrv2  27056