Theorem hashgt12el2 13211

Description: In a set with more than one element are two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashgt12el2	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏)

Distinct variable groups:   𝑉,𝑏   𝐴,𝑏

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑏)

Proof of Theorem hashgt12el2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash0 13158	. . . 4 ⊢ (#‘∅) = 0
2		fveq2 6191	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝑉 → (#‘∅) = (#‘𝑉))
3	1, 2	syl5eqr 2670	. . 3 ⊢ (∅ = 𝑉 → 0 = (#‘𝑉))
4		breq2 4657	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑉) = 0 → (1 < (#‘𝑉) ↔ 1 < 0))
5	4	biimpd 219	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑉) = 0 → (1 < (#‘𝑉) → 1 < 0))
6	5	eqcoms 2630	. . . . 5 ⊢ (0 = (#‘𝑉) → (1 < (#‘𝑉) → 1 < 0))
7		0le1 10551	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
8		0re 10040	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		1re 10039	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
10	8, 9	lenlti 10157	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
11		pm2.21 120	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 1 < 0 → (1 < 0 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))
12	10, 11	sylbi 207	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 1 → (1 < 0 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))
13	7, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏)
14	6, 13	syl6com 37	. . . 4 ⊢ (1 < (#‘𝑉) → (0 = (#‘𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))
15	14	3ad2ant2 1083	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (0 = (#‘𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))
16	3, 15	syl5com 31	. 2 ⊢ (∅ = 𝑉 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))
17		df-ne 2795	. . . 4 ⊢ (∅ ≠ 𝑉 ↔ ¬ ∅ = 𝑉)
18		necom 2847	. . . 4 ⊢ (∅ ≠ 𝑉 ↔ 𝑉 ≠ ∅)
19	17, 18	bitr3i 266	. . 3 ⊢ (¬ ∅ = 𝑉 ↔ 𝑉 ≠ ∅)
20		ralnex 2992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑉 ¬ 𝐴 ≠ 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏)
21		nne 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ 𝑏 ↔ 𝐴 = 𝑏)
22		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = 𝑏 ↔ 𝑏 = 𝐴)
23	21, 22	bitri 264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ 𝑏 ↔ 𝑏 = 𝐴)
24	23	ralbii 2980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑉 ¬ 𝐴 ≠ 𝑏 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝐴)
25	20, 24	bitr3i 266	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝐴)
26		eqsn 4361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 = {𝐴} ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝐴))
27	26	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝐴 ↔ 𝑉 = {𝐴}))
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝐴 ↔ 𝑉 = {𝐴}))
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝐴 ↔ 𝑉 = {𝐴}))
30		hashsnle1 13205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (#‘{𝐴}) ≤ 1
31		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑉 = {𝐴} → (#‘𝑉) = (#‘{𝐴}))
32	31	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑉 = {𝐴} → ((#‘𝑉) ≤ 1 ↔ (#‘{𝐴}) ≤ 1))
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑉 = {𝐴}) → ((#‘𝑉) ≤ 1 ↔ (#‘{𝐴}) ≤ 1))
34	30, 33	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑉 = {𝐴}) → (#‘𝑉) ≤ 1)
35	34	ex 450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑉 = {𝐴} → (#‘𝑉) ≤ 1))
36	29, 35	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝐴 → (#‘𝑉) ≤ 1))
37		hashxrcl 13148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (#‘𝑉) ∈ ℝ*)
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (#‘𝑉) ∈ ℝ*)
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (#‘𝑉) ∈ ℝ*)
40	9	rexri 10097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ*
41		xrlenlt 10103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((#‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (#‘𝑉)))
42	39, 40, 41	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((#‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (#‘𝑉)))
43	36, 42	sylibd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝐴 → ¬ 1 < (#‘𝑉)))
44	25, 43	syl5bi 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (¬ ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏 → ¬ 1 < (#‘𝑉)))
45	44	con4d 114	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (1 < (#‘𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))
46	45	exp31 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ 𝑉 → (1 < (#‘𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))))
47	46	com24 95	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (1 < (#‘𝑉) → (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑉 ≠ ∅ → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))))
48	47	3imp 1256	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑉 ≠ ∅ → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))
49	48	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))
50	19, 49	sylbi 207	. 2 ⊢ (¬ ∅ = 𝑉 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))
51	16, 50	pm2.61i 176	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  ∅c0 3915  {csn 4177   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  0cc0 9936  1c1 9937  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075  #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  conngrv2edg  27055  3cyclfrgrrn  27150  copisnmnd  41809