Theorem dnizeq0 32465

Description: The distance to nearest integer is zero for integers. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnizeq0.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnizeq0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
dnizeq0	⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) = 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnizeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnizeq0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zred 11482	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		dnizeq0.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
4	3	dnival 32461	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑇‘𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
6		halfre 11246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
8	1, 7	jca 554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
9		flzadd 12627	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))))
11	6	rexri 10097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ*
12		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		halfgt0 11248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < (1 / 2)
14	12, 6, 13	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
15		halflt1 11250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) < 1
16	11, 14, 15	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
17		0xr 10086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ*
18		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
19	18	rexri 10097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ*
20	17, 19	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*)
21		elico1 12218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 / 2) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 / 2) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1))
23	16, 22	mpbir 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ∈ (0[,)1)
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ (0[,)1))
25		ico01fl0 12620	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(1 / 2)) = 0)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(1 / 2)) = 0)
27	26	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))) = (𝐴 + 0))
28	2	recnd 10068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
29	28	addid1d 10236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)
30	27, 29	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))) = 𝐴)
31	10, 30	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = 𝐴)
32	31	oveq1d 6665	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) = (𝐴 − 𝐴))
33	28	subidd 10380	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = 0)
34	32, 33	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) = 0)
35	34	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) = (abs‘0))
36		abs0 14025	. . . 4 ⊢ (abs‘0) = 0
37	36	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘0) = 0)
38	35, 37	eqtrd 2656	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) = 0)
39	5, 38	eqtrd 2656	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  2c2 11070  ℤcz 11377  [,)cico 12177  ⌊cfl 12591  abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  knoppndvlem6  32508  knoppndvlem8  32510