Theorem knoppndvlem6 32508

Description: Lemma for knoppndv 32525. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem6.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem6.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem6.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem6.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem6.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem6.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem6.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem6.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem6	⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝐴,𝑖,𝑤   𝐶,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑖,𝐽,𝑛,𝑦   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑖)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑤)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑁(𝑤,𝑖)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem6.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖)))
3		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝐴))
4	3	fveq1d 6193	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
5	4	sumeq2sdv 14435	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
6	5	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝐴) → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
7		knoppndvlem6.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
9		knoppndvlem6.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
10		knoppndvlem6.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
11	10	nn0zd 11480	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
12		knoppndvlem6.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	9, 11, 12	knoppndvlem1 32503	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
14	8, 13	eqeltrd 2701	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
15		sumex 14418	. . . . 5 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ V
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ V)
17	2, 6, 14, 16	fvmptd 6288	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
18		nn0uz 11722	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
19		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) = (ℤ≥‘(𝐽 + 1))
20		peano2nn0 11333	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ0)
21	10, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ0)
22		eqidd 2623	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
23		knoppndvlem6.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
24		knoppndvlem6.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
25	9	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
26		knoppndvlem6.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
27	26	knoppndvlem3 32505	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
28	27	simpld 475	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
29	28	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
30	14	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
31		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
32	23, 24, 25, 29, 30, 31	knoppcnlem3 32485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
33	32	recnd 10068	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
34	23, 24, 1, 14, 26, 9	knoppndvlem4 32506	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ⇝ (𝑊‘𝐴))
35		seqex 12803	. . . . . 6 ⊢ seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ V
36		fvex 6201	. . . . . 6 ⊢ (𝑊‘𝐴) ∈ V
37	35, 36	breldm 5329	. . . . 5 ⊢ (seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ⇝ (𝑊‘𝐴) → seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )
38	34, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )
39	18, 19, 21, 22, 33, 38	isumsplit 14572	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (0...((𝐽 + 1) − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)))
40	10	nn0cnd 11353	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
41		1cnd 10056	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
42	40, 41	pncand 10393	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) − 1) = 𝐽)
43	42	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...((𝐽 + 1) − 1)) = (0...𝐽))
44	43	sumeq1d 14431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...((𝐽 + 1) − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
45	44	oveq1d 6665	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...((𝐽 + 1) − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)))
46	17, 39, 45	3eqtrd 2660	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) = (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)))
47	14	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝐴 ∈ ℝ)
48		eluznn0 11757	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
49	21, 48	sylan 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
50	24, 47, 49	knoppcnlem1 32483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))
51	7	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
52	51	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
53	9	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
54	49	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
55	11	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝐽 ∈ ℤ)
56	12	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
57		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) → (𝐽 + 1) ≤ 𝑖)
58	57	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (𝐽 + 1) ≤ 𝑖)
59	55, 54	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
60		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐽 < 𝑖 ↔ (𝐽 + 1) ≤ 𝑖))
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (𝐽 < 𝑖 ↔ (𝐽 + 1) ≤ 𝑖))
62	58, 61	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝐽 < 𝑖)
63	53, 54, 55, 56, 62	knoppndvlem2 32504	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) ∈ ℤ)
64	52, 63	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴) ∈ ℤ)
65	23, 64	dnizeq0 32465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) = 0)
66	65	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) = ((𝐶↑𝑖) · 0))
67	28	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
68	67	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
69	68, 49	expcld 13008	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (𝐶↑𝑖) ∈ ℂ)
70	69	mul01d 10235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → ((𝐶↑𝑖) · 0) = 0)
71	50, 66, 70	3eqtrd 2660	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = 0)
72	71	sumeq2dv 14433	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))0)
73		ssid 3624	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))
74	73	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)))
75	74	orcd 407	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ∨ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ∈ Fin))
76		sumz 14453	. . . . . 6 ⊢ (((ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ∨ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ∈ Fin) → Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))0 = 0)
77	75, 76	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))0 = 0)
78	72, 77	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = 0)
79	78	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + 0))
80	23, 24, 14, 28, 9	knoppndvlem5 32507	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
81	80	recnd 10068	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
82	81	addid1d 10236	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + 0) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
83	79, 82	eqtrd 2656	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
84	46, 83	eqtrd 2656	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  -cneg 10267   / cdiv 10684  ℕcn 11020  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  (,)cioo 12175  ...cfz 12326  ⌊cfl 12591  seqcseq 12801  ↑cexp 12860  abscabs 13974   ⇝ cli 14215  Σcsu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ulm 24131

This theorem is referenced by:  knoppndvlem15  32517