Theorem dnizeq0 32465

Description: The distance to nearest integer is zero for integers. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnizeq0.t	|- T = ( x e. RR |-> ( abs ` ( ( |_ ` ( x + ( 1 / 2 ) ) ) - x ) ) )
dnizeq0.1	|- ( ph -> A e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
dnizeq0	|- ( ph -> ( T ` A ) = 0 )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   ph( x)   T( x)

Proof of Theorem dnizeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnizeq0.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. ZZ )
2	1	zred 11482	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		dnizeq0.t	. . . 4 |- T = ( x e. RR |-> ( abs ` ( ( |_ ` ( x + ( 1 / 2 ) ) ) - x ) ) )
4	3	dnival 32461	. . 3 |- ( A e. RR -> ( T ` A ) = ( abs ` ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) )
5	2, 4	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( T ` A ) = ( abs ` ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) )
6		halfre 11246	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 2 ) e. RR
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
8	1, 7	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A e. ZZ /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) )
9		flzadd 12627	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) = ( A + ( |_ ` ( 1 / 2 ) ) ) )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) = ( A + ( |_ ` ( 1 / 2 ) ) ) )
11	6	rexri 10097	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 / 2 ) e. RR*
12		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
13		halfgt0 11248	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < ( 1 / 2 )
14	12, 6, 13	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
15		halflt1 11250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 / 2 ) < 1
16	11, 14, 15	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 / 2 ) e. RR* /\ 0 <_ ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) < 1 )
17		0xr 10086	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR*
18		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. RR
19	18	rexri 10097	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR*
20	17, 19	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* )
21		elico1 12218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,) 1 ) <-> ( ( 1 / 2 ) e. RR* /\ 0 <_ ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) < 1 ) ) )
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,) 1 ) <-> ( ( 1 / 2 ) e. RR* /\ 0 <_ ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) < 1 ) )
23	16, 22	mpbir 221	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,) 1 )
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,) 1 ) )
25		ico01fl0 12620	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,) 1 ) -> ( |_ ` ( 1 / 2 ) ) = 0 )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` ( 1 / 2 ) ) = 0 )
27	26	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A + ( |_ ` ( 1 / 2 ) ) ) = ( A + 0 ) )
28	2	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
29	28	addid1d 10236	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A + 0 ) = A )
30	27, 29	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A + ( |_ ` ( 1 / 2 ) ) ) = A )
31	10, 30	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) = A )
32	31	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) = ( A - A ) )
33	28	subidd 10380	. . . . 5 |- ( ph -> ( A - A ) = 0 )
34	32, 33	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) = 0 )
35	34	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) = ( abs ` 0 ) )
36		abs0 14025	. . . 4 |- ( abs ` 0 ) = 0
37	36	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` 0 ) = 0 )
38	35, 37	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) = 0 )
39	5, 38	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> ( T ` A ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   ZZcz 11377   [,)cico 12177   |_cfl 12591   abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  knoppndvlem6  32508  knoppndvlem8  32510