Theorem dvdsflf1o 24913

Description: A bijection from the numbers less than 𝑁 / 𝐴 to the multiples of 𝐴 less than 𝑁. Useful for some sum manipulations. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsflf1o.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dvdsflf1o.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dvdsflf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↦ (𝑁 · 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
dvdsflf1o	⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))–1-1-onto→{𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem dvdsflf1o

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsflf1o.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↦ (𝑁 · 𝑛))
2		dvdsflf1o.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		elfznn 12370	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) → 𝑛 ∈ ℕ)
4		nnmulcl 11043	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑛) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	syl2an 494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ∈ ℕ)
6		dvdsflf1o.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6, 2	nndivred 11069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
8		fznnfl 12661	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ → (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ (𝐴 / 𝑁))))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ (𝐴 / 𝑁))))
10	9	simplbda 654	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑛 ≤ (𝐴 / 𝑁))
11	3	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
12	11	nnred 11035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑛 ∈ ℝ)
13	6	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	2	nnred 11035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
15	14	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
16	2	nngt0d 11064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 0 < 𝑁)
18		lemuldiv2 10904	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑁 · 𝑛) ≤ 𝐴 ↔ 𝑛 ≤ (𝐴 / 𝑁)))
19	12, 13, 15, 17, 18	syl112anc 1330	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → ((𝑁 · 𝑛) ≤ 𝐴 ↔ 𝑛 ≤ (𝐴 / 𝑁)))
20	10, 19	mpbird 247	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ≤ 𝐴)
21	2	nnzd 11481	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
22		elfzelz 12342	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) → 𝑛 ∈ ℤ)
23		zmulcl 11426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑛) ∈ ℤ)
24	21, 22, 23	syl2an 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ∈ ℤ)
25		flge 12606	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 𝑛) ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑛) ≤ 𝐴 ↔ (𝑁 · 𝑛) ≤ (⌊‘𝐴)))
26	13, 24, 25	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → ((𝑁 · 𝑛) ≤ 𝐴 ↔ (𝑁 · 𝑛) ≤ (⌊‘𝐴)))
27	20, 26	mpbid 222	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ≤ (⌊‘𝐴))
28	6	flcld 12599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
29	28	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
30		fznn 12408	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑛) ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ ((𝑁 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝑛) ≤ (⌊‘𝐴))))
31	29, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → ((𝑁 · 𝑛) ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ ((𝑁 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝑛) ≤ (⌊‘𝐴))))
32	5, 27, 31	mpbir2and 957	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
33		dvdsmul1 15003	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑛))
34	21, 22, 33	syl2an 494	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑛))
35		breq2 4657	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑁 · 𝑛) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑛)))
36	35	elrab 3363	. . 3 ⊢ ((𝑁 · 𝑛) ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ↔ ((𝑁 · 𝑛) ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑛)))
37	32, 34, 36	sylanbrc 698	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
38		breq2 4657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ 𝑚))
39	38	elrab 3363	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ↔ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑁 ∥ 𝑚))
40	39	simprbi 480	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} → 𝑁 ∥ 𝑚)
41	40	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑁 ∥ 𝑚)
42		elrabi 3359	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} → 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
43	42	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
44		elfznn 12370	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑚 ∈ ℕ)
45	43, 44	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑚 ∈ ℕ)
46	2	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑁 ∈ ℕ)
47		nndivdvds 14989	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ 𝑚 ↔ (𝑚 / 𝑁) ∈ ℕ))
48	45, 46, 47	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑁 ∥ 𝑚 ↔ (𝑚 / 𝑁) ∈ ℕ))
49	41, 48	mpbid 222	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑚 / 𝑁) ∈ ℕ)
50		fznnfl 12661	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝐴)))
51	6, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝐴)))
52	51	simplbda 654	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑚 ≤ 𝐴)
53	42, 52	sylan2 491	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑚 ≤ 𝐴)
54	45	nnred 11035	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑚 ∈ ℝ)
55	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝐴 ∈ ℝ)
56	14	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑁 ∈ ℝ)
57	16	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 0 < 𝑁)
58		lediv1 10888	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (𝑚 ≤ 𝐴 ↔ (𝑚 / 𝑁) ≤ (𝐴 / 𝑁)))
59	54, 55, 56, 57, 58	syl112anc 1330	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑚 ≤ 𝐴 ↔ (𝑚 / 𝑁) ≤ (𝐴 / 𝑁)))
60	53, 59	mpbid 222	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑚 / 𝑁) ≤ (𝐴 / 𝑁))
61	7	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
62		fznnfl 12661	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ → ((𝑚 / 𝑁) ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↔ ((𝑚 / 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑚 / 𝑁) ≤ (𝐴 / 𝑁))))
63	61, 62	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → ((𝑚 / 𝑁) ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↔ ((𝑚 / 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑚 / 𝑁) ≤ (𝐴 / 𝑁))))
64	49, 60, 63	mpbir2and 957	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑚 / 𝑁) ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))))
65	45	nncnd 11036	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑚 ∈ ℂ)
66	65	adantrl 752	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → 𝑚 ∈ ℂ)
67	2	nncnd 11036	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
68	67	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → 𝑁 ∈ ℂ)
69	11	nncnd 11036	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑛 ∈ ℂ)
70	69	adantrr 753	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → 𝑛 ∈ ℂ)
71	2	nnne0d 11065	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
72	71	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → 𝑁 ≠ 0)
73	66, 68, 70, 72	divmuld 10823	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → ((𝑚 / 𝑁) = 𝑛 ↔ (𝑁 · 𝑛) = 𝑚))
74		eqcom 2629	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 / 𝑁) ↔ (𝑚 / 𝑁) = 𝑛)
75		eqcom 2629	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑁 · 𝑛) ↔ (𝑁 · 𝑛) = 𝑚)
76	73, 74, 75	3bitr4g 303	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → (𝑛 = (𝑚 / 𝑁) ↔ 𝑚 = (𝑁 · 𝑛)))
77	1, 37, 64, 76	f1o2d 6887	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))–1-1-onto→{𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  {crab 2916   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  –1-1-onto→wf1o 5887  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   / cdiv 10684  ℕcn 11020  ℤcz 11377  ...cfz 12326  ⌊cfl 12591   ∥ cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fl 12593  df-dvds 14984

This theorem is referenced by:  dvdsflsumcom  24914  logfac2  24942