Theorem dvdsflf1o 24913

Description: A bijection from the numbers less than N / A to the multiples of A less than N. Useful for some sum manipulations. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsflf1o.1	|- ( ph -> A e. RR )
dvdsflf1o.2	|- ( ph -> N e. NN )
dvdsflf1o.f	|- F = ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) |-> ( N x. n ) )

Assertion

Ref	Expression
dvdsflf1o	|- ( ph -> F : ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) -1-1-onto-> { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } )

Distinct variable groups:   x, n, A   n, N, x   ph, n

Allowed substitution hints:   ph( x)   F( x, n)

Proof of Theorem dvdsflf1o

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsflf1o.f	. 2 |- F = ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) |-> ( N x. n ) )
2		dvdsflf1o.2	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN )
3		elfznn 12370	. . . . 5 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) -> n e. NN )
4		nnmulcl 11043	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ n e. NN ) -> ( N x. n ) e. NN )
5	2, 3, 4	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) ) -> ( N x. n ) e. NN )
6		dvdsflf1o.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR )
7	6, 2	nndivred 11069	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A / N ) e. RR )
8		fznnfl 12661	. . . . . . . 8 |- ( ( A / N ) e. RR -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) <-> ( n e. NN /\ n <_ ( A / N ) ) ) )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) <-> ( n e. NN /\ n <_ ( A / N ) ) ) )
10	9	simplbda 654	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) ) -> n <_ ( A / N ) )
11	3	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) ) -> n e. NN )
12	11	nnred 11035	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) ) -> n e. RR )
13	6	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) ) -> A e. RR )
14	2	nnred 11035	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. RR )
15	14	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) ) -> N e. RR )
16	2	nngt0d 11064	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < N )
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) ) -> 0 < N )
18		lemuldiv2 10904	. . . . . . 7 |- ( ( n e. RR /\ A e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( N x. n ) <_ A <-> n <_ ( A / N ) ) )
19	12, 13, 15, 17, 18	syl112anc 1330	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) ) -> ( ( N x. n ) <_ A <-> n <_ ( A / N ) ) )
20	10, 19	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) ) -> ( N x. n ) <_ A )
21	2	nnzd 11481	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ZZ )
22		elfzelz 12342	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) -> n e. ZZ )
23		zmulcl 11426	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( N x. n ) e. ZZ )
24	21, 22, 23	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) ) -> ( N x. n ) e. ZZ )
25		flge 12606	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ ( N x. n ) e. ZZ ) -> ( ( N x. n ) <_ A <-> ( N x. n ) <_ ( |_ ` A ) ) )
26	13, 24, 25	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) ) -> ( ( N x. n ) <_ A <-> ( N x. n ) <_ ( |_ ` A ) ) )
27	20, 26	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) ) -> ( N x. n ) <_ ( |_ ` A ) )
28	6	flcld 12599	. . . . . 6 |- ( ph -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
29	28	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) ) -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
30		fznn 12408	. . . . 5 |- ( ( |_ ` A ) e. ZZ -> ( ( N x. n ) e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) <-> ( ( N x. n ) e. NN /\ ( N x. n ) <_ ( |_ ` A ) ) ) )
31	29, 30	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) ) -> ( ( N x. n ) e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) <-> ( ( N x. n ) e. NN /\ ( N x. n ) <_ ( |_ ` A ) ) ) )
32	5, 27, 31	mpbir2and 957	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) ) -> ( N x. n ) e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) )
33		dvdsmul1 15003	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> N || ( N x. n ) )
34	21, 22, 33	syl2an 494	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) ) -> N || ( N x. n ) )
35		breq2 4657	. . . 4 |- ( x = ( N x. n ) -> ( N || x <-> N || ( N x. n ) ) )
36	35	elrab 3363	. . 3 |- ( ( N x. n ) e. { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } <-> ( ( N x. n ) e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ N || ( N x. n ) ) )
37	32, 34, 36	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) ) -> ( N x. n ) e. { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } )
38		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( x = m -> ( N || x <-> N || m ) )
39	38	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( m e. { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } <-> ( m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ N || m ) )
40	39	simprbi 480	. . . . 5 |- ( m e. { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } -> N || m )
41	40	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } ) -> N || m )
42		elrabi 3359	. . . . . . 7 |- ( m e. { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } -> m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) )
43	42	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } ) -> m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) )
44		elfznn 12370	. . . . . 6 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> m e. NN )
45	43, 44	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } ) -> m e. NN )
46	2	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } ) -> N e. NN )
47		nndivdvds 14989	. . . . 5 |- ( ( m e. NN /\ N e. NN ) -> ( N || m <-> ( m / N ) e. NN ) )
48	45, 46, 47	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } ) -> ( N || m <-> ( m / N ) e. NN ) )
49	41, 48	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } ) -> ( m / N ) e. NN )
50		fznnfl 12661	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) <-> ( m e. NN /\ m <_ A ) ) )
51	6, 50	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) <-> ( m e. NN /\ m <_ A ) ) )
52	51	simplbda 654	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> m <_ A )
53	42, 52	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } ) -> m <_ A )
54	45	nnred 11035	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } ) -> m e. RR )
55	6	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } ) -> A e. RR )
56	14	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } ) -> N e. RR )
57	16	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } ) -> 0 < N )
58		lediv1 10888	. . . . 5 |- ( ( m e. RR /\ A e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( m <_ A <-> ( m / N ) <_ ( A / N ) ) )
59	54, 55, 56, 57, 58	syl112anc 1330	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } ) -> ( m <_ A <-> ( m / N ) <_ ( A / N ) ) )
60	53, 59	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } ) -> ( m / N ) <_ ( A / N ) )
61	7	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } ) -> ( A / N ) e. RR )
62		fznnfl 12661	. . . 4 |- ( ( A / N ) e. RR -> ( ( m / N ) e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) <-> ( ( m / N ) e. NN /\ ( m / N ) <_ ( A / N ) ) ) )
63	61, 62	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } ) -> ( ( m / N ) e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) <-> ( ( m / N ) e. NN /\ ( m / N ) <_ ( A / N ) ) ) )
64	49, 60, 63	mpbir2and 957	. 2 |- ( ( ph /\ m e. { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } ) -> ( m / N ) e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) )
65	45	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } ) -> m e. CC )
66	65	adantrl 752	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) /\ m e. { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } ) ) -> m e. CC )
67	2	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( ph -> N e. CC )
68	67	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) /\ m e. { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } ) ) -> N e. CC )
69	11	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) ) -> n e. CC )
70	69	adantrr 753	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) /\ m e. { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } ) ) -> n e. CC )
71	2	nnne0d 11065	. . . . 5 |- ( ph -> N =/= 0 )
72	71	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) /\ m e. { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } ) ) -> N =/= 0 )
73	66, 68, 70, 72	divmuld 10823	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) /\ m e. { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } ) ) -> ( ( m / N ) = n <-> ( N x. n ) = m ) )
74		eqcom 2629	. . 3 |- ( n = ( m / N ) <-> ( m / N ) = n )
75		eqcom 2629	. . 3 |- ( m = ( N x. n ) <-> ( N x. n ) = m )
76	73, 74, 75	3bitr4g 303	. 2 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) /\ m e. { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } ) ) -> ( n = ( m / N ) <-> m = ( N x. n ) ) )
77	1, 37, 64, 76	f1o2d 6887	1 |- ( ph -> F : ( 1 ... ( |_ ` ( A / N ) ) ) -1-1-onto-> { x e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) | N || x } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   ...cfz 12326   |_cfl 12591   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fl 12593  df-dvds 14984

This theorem is referenced by:  dvdsflsumcom  24914  logfac2  24942