Theorem nndivred 11069

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 11056	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  ℝcr 9935   / cdiv 10684  ℕcn 11020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021

This theorem is referenced by:  bcp1nk  13104  reeftcl  14805  efcllem  14808  eftlub  14839  eirrlem  14932  dvdsmod  15050  bitsfzo  15157  bitsmod  15158  bitscmp  15160  bitsuz  15196  bezoutlem3  15258  hashdvds  15480  prmdiv  15490  odzdvds  15500  pcfaclem  15602  pcfac  15603  pcbc  15604  pockthlem  15609  prmreclem4  15623  odmod  17965  zringlpirlem3  19834  prmirredlem  19841  lebnumii  22765  ovoliunlem1  23270  uniioombllem4  23354  dyadss  23362  dyaddisjlem  23363  dyadmaxlem  23365  opnmbllem  23369  mbfi1fseqlem1  23482  mbfi1fseqlem3  23484  mbfi1fseqlem4  23485  mbfi1fseqlem5  23486  mbfi1fseqlem6  23487  aaliou3lem9  24105  taylthlem2  24128  advlogexp  24401  leibpilem2  24668  leibpi  24669  leibpisum  24670  birthdaylem3  24680  amgmlem  24716  fsumharmonic  24738  lgamgulmlem2  24756  lgamgulmlem3  24757  lgamgulmlem4  24758  lgamgulmlem6  24760  lgamcvg2  24781  regamcl  24787  basellem4  24810  dvdsflf1o  24913  fsumfldivdiaglem  24915  logexprlim  24950  pcbcctr  25001  bcp1ctr  25004  bposlem2  25010  bposlem6  25014  lgseisenlem4  25103  lgseisen  25104  lgsquadlem1  25105  lgsquadlem2  25106  chebbnd1lem3  25160  chtppilimlem1  25162  vmadivsum  25171  vmadivsumb  25172  rplogsumlem1  25173  rplogsumlem2  25174  rpvmasumlem  25176  dchrisumlem1  25178  dchrvmasumlem1  25184  dchrvmasum2lem  25185  dchrvmasum2if  25186  dchrvmasumlem2  25187  dchrvmasumlem3  25188  dchrvmasumiflem1  25190  dchrvmasumiflem2  25191  rpvmasum2  25201  dchrisum0lem1  25205  dchrmusumlem  25211  dirith2  25217  mudivsum  25219  mulogsumlem  25220  mulogsum  25221  mulog2sumlem1  25223  mulog2sumlem2  25224  mulog2sumlem3  25225  vmalogdivsum2  25227  vmalogdivsum  25228  2vmadivsumlem  25229  selberglem1  25234  selberglem2  25235  selbergb  25238  selberg2b  25241  logdivbnd  25245  selberg3lem1  25246  selberg3  25248  selberg4lem1  25249  selberg4  25250  pntrsumo1  25254  pntrsumbnd  25255  pntrsumbnd2  25256  selbergr  25257  selberg3r  25258  selberg4r  25259  pntsf  25262  pntsval2  25265  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem4  25269  pntrlog2bndlem5  25270  pntrlog2bndlem6  25272  pntpbnd1  25275  pntpbnd2  25276  pntibndlem2  25280  pntlemn  25289  pntlemj  25292  pntlemk  25295  pntlemo  25296  ostth2lem2  25323  subfacval2  31169  subfaclim  31170  cvmliftlem6  31272  cvmliftlem7  31273  cvmliftlem8  31274  cvmliftlem9  31275  cvmliftlem10  31276  faclimlem1  31629  faclimlem2  31630  faclim2  31634  poimirlem29  33438  opnmbllem0  33445  pellexlem2  37394  hashnzfz2  38520  hashnzfzclim  38521  stoweidlem11  40228  stoweidlem26  40243  stoweidlem42  40259  stoweidlem59  40276  etransclem23  40474