Theorem efcvgfsum 14816

Description: Exponential function convergence in terms of a sequence of partial finite sums. (Contributed by NM, 10-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
efcvgfsum.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
efcvgfsum	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ (exp‘𝐴))

Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem efcvgfsum

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (0...𝑛) = (0...𝑗))
2	1	sumeq1d 14431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
3		efcvgfsum.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4		sumex 14418	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6282	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
6	5	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
7		elfznn0 12433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8	7	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
10	9	eftval 14807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
11	8, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
12		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
13		nn0uz 11722	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
14	12, 13	syl6eleq 2711	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘0))
15		simpll 790	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16		eftcl 14804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
17	15, 8, 16	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
18	11, 14, 17	fsumser 14461	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
19	6, 18	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑗) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
20	19	ralrimiva 2966	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑗) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
21		sumex 14418	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ V
22	21, 3	fnmpti 6022	. . . 4 ⊢ 𝐹 Fn ℕ0
23		0z 11388	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
24		seqfn 12813	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) Fn (ℤ≥‘0))
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) Fn (ℤ≥‘0)
26	13	fneq2i 5986	. . . . 5 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) Fn ℕ0 ↔ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) Fn (ℤ≥‘0))
27	25, 26	mpbir 221	. . . 4 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) Fn ℕ0
28		eqfnfv 6311	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn ℕ0 ∧ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) Fn ℕ0) → (𝐹 = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑗) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗)))
29	22, 27, 28	mp2an 708	. . 3 ⊢ (𝐹 = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑗) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
30	20, 29	sylibr 224	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))))
31	9	efcvg 14815	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘𝐴))
32	30, 31	eqbrtrd 4675	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ (exp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   Fn wfn 5883  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936   + caddc 9939   / cdiv 10684  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326  seqcseq 12801  ↑cexp 12860  !cfa 13060   ⇝ cli 14215  Σcsu 14416  expce 14792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798

This theorem is referenced by: (None)