Theorem elfznn0 12433

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 12431	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1076	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  0cc0 9936   ≤ cle 10075  ℕ₀cn0 11292  ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  12435  fz0fzdiffz0  12448  difelfzle  12452  fzo0ssnn0OLD  12549  bcrpcl  13095  bccmpl  13096  bcp1n  13103  bcp1nk  13104  bcval5  13105  permnn  13113  swrd0len  13422  swrd0f  13427  swrd0fv  13439  swrd0swrd  13461  swrdswrd0  13462  swrd0swrd0  13463  swrd0swrdid  13464  wrdcctswrd  13465  swrdccat3  13492  swrdccat3a  13494  swrdccat3blem  13495  splfv2a  13507  2cshwcshw  13571  cshwcsh2id  13574  binomlem  14561  binom1p  14563  binom1dif  14565  bcxmas  14567  climcnds  14583  arisum  14592  arisum2  14593  pwm1geoser  14600  geolim  14601  geo2sum  14604  mertenslem1  14616  mertenslem2  14617  mertens  14618  risefacval2  14741  fallfacval2  14742  fallfacval3  14743  risefaccllem  14744  fallfaccllem  14745  risefacp1  14760  fallfacp1  14761  fallfacfwd  14767  binomfallfaclem1  14770  binomfallfaclem2  14771  binomrisefac  14773  bcfallfac  14775  bpolylem  14779  bpolysum  14784  bpolydiflem  14785  fsumkthpow  14787  bpoly4  14790  efcvgfsum  14816  efcj  14822  efaddlem  14823  effsumlt  14841  eirrlem  14932  3dvds  15052  3dvdsOLD  15053  pwp1fsum  15114  prmdiveq  15491  hashgcdlem  15493  pcbc  15604  vdwapf  15676  vdwlem2  15686  vdwlem6  15690  vdwlem8  15692  psgnunilem2  17915  efgcpbllemb  18168  srgbinomlem3  18542  srgbinomlem4  18543  srgbinomlem  18544  coe1mul2  19639  coe1tmmul2  19646  coe1tmmul  19647  cply1mul  19664  gsummoncoe1  19674  m2pmfzgsumcl  20553  decpmatmul  20577  pmatcollpw3fi1lem1  20591  mp2pm2mplem4  20614  pm2mpmhmlem2  20624  chpscmatgsumbin  20649  chpscmatgsummon  20650  chfacfscmulgsum  20665  chfacfpmmulgsum  20669  cpmadugsumlemB  20679  cpmadugsumlemC  20680  cpmadugsumlemF  20681  cpmadugsumfi  20682  mbfi1fseqlem3  23484  mbfi1fseqlem4  23485  itg0  23546  itgz  23547  itgcl  23550  iblabsr  23596  iblmulc2  23597  itgsplit  23602  dvn2bss  23693  coe1mul3  23859  elply2  23952  plyf  23954  elplyd  23958  ply1termlem  23959  plyeq0lem  23966  plypf1  23968  plyaddlem1  23969  plymullem1  23970  plyaddlem  23971  plymullem  23972  coeeulem  23980  coeidlem  23993  coeid3  23996  plyco  23997  coeeq2  23998  dgreq  24000  coefv0  24004  coeaddlem  24005  coemullem  24006  coemulhi  24010  coemulc  24011  coe1termlem  24014  plycn  24017  plycjlem  24032  plycj  24033  plyrecj  24035  dvply1  24039  dvply2g  24040  vieta1lem2  24066  elqaalem2  24075  elqaalem3  24076  aareccl  24081  aalioulem1  24087  taylply2  24122  taylply  24123  dvtaylp  24124  dvntaylp0  24126  taylthlem2  24128  pserulm  24176  psercn2  24177  pserdvlem2  24182  abelthlem6  24190  abelthlem7  24192  abelthlem8  24193  advlogexp  24401  cxpeq  24498  log2tlbnd  24672  log2ublem2  24674  log2ub  24676  birthdaylem2  24679  birthdaylem3  24680  ftalem1  24799  ftalem5  24803  basellem2  24808  basellem3  24809  dvdsppwf1o  24912  musum  24917  sgmppw  24922  1sgmprm  24924  logexprlim  24950  mersenne  24952  lgseisenlem1  25100  dchrisum0flblem1  25197  pntpbnd2  25276  crctcshwlkn0  26713  bcm1n  29554  plymulx0  30624  signsplypnf  30627  signstres  30652  subfacval2  31169  subfaclim  31170  cvmliftlem7  31273  bccolsum  31625  knoppcnlem7  32489  knoppcnlem8  32490  knoppndvlem5  32507  knoppndvlem11  32513  knoppndvlem14  32516  knoppndvlem15  32517  poimirlem3  33412  poimirlem4  33413  poimirlem12  33421  poimirlem15  33424  poimirlem16  33425  poimirlem17  33426  poimirlem19  33428  poimirlem20  33429  poimirlem23  33432  poimirlem24  33433  poimirlem25  33434  poimirlem28  33437  poimirlem29  33438  poimirlem31  33440  iblmulc2nc  33475  jm2.22  37562  jm2.23  37563  hbt  37700  cnsrplycl  37737  bcc0  38539  binomcxplemnn0  38548  binomcxplemfrat  38550  binomcxplemradcnv  38551  dvnmptdivc  40153  dvnmul  40158  dvnprodlem1  40161  dvnprodlem2  40162  dvnprodlem3  40163  iblsplit  40182  elaa2lem  40450  etransclem2  40453  etransclem23  40474  etransclem28  40479  etransclem29  40480  etransclem32  40483  etransclem33  40484  etransclem35  40486  etransclem38  40489  etransclem39  40490  etransclem43  40494  etransclem44  40495  etransclem45  40496  etransclem46  40497  etransclem47  40498  etransclem48  40499  2elfz3nn0  41326  fz0addcom  41327  2elfz2melfz  41328  fz0addge0  41329  pfxmpt  41387  pfxlen  41391  addlenpfx  41398  pfxfv  41399  pfxswrd  41413  swrdpfx  41414  pfxpfx  41415  pfxpfxid  41416  pfxccat3  41426  pfxccatpfx1  41427  pfxccat3a  41429  repswpfx  41436  pfxco  41438  fmtnorec2lem  41454  fmtnodvds  41456  fmtnorec3  41460  pwdif  41501  lighneallem3  41524  lighneallem4b  41526  lighneallem4  41527  altgsumbc  42130  altgsumbcALT  42131  ply1mulgsumlem2  42175  ply1mulgsum  42178  nn0sumshdiglemA  42413  nn0sumshdiglemB  42414  aacllem  42547