Theorem elfzoel2 12469

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 3921	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2		fzof 12467	. . . . . 6 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6052	. . . . 5 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
4	3	ndmov 6818	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
5	4	necon1ai 2821	. . 3 ⊢ ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
7	6	simprd 479	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∅c0 3915  𝒫 cpw 4158   × cxp 5112  (class class class)co 6650  ℤcz 11377  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  elfzoelz  12470  elfzo2  12473  elfzole1  12478  elfzolt2  12479  elfzolt3  12480  elfzolt2b  12481  elfzolt3b  12482  fzonel  12483  elfzouz2  12484  fzonnsub  12493  fzoss1  12495  fzospliti  12500  fzodisj  12502  fzoaddel  12520  fzo0addelr  12522  elfzoext  12524  elincfzoext  12525  fzosubel  12526  fzoend  12559  ssfzo12  12561  fzofzp1  12565  elfzo1elm1fzo0  12569  fzonfzoufzol  12571  elfznelfzob  12574  peano2fzor  12575  fzostep1  12584  modsumfzodifsn  12743  addmodlteq  12745  cshwidxm1  13553  cshimadifsn0  13576  fzomaxdiflem  14082  fzo0dvdseq  15045  fzocongeq  15046  addmodlteqALT  15047  efgsp1  18150  efgsres  18151  crctcshwlkn0lem2  26703  crctcshwlkn0lem3  26704  crctcshwlkn0lem5  26706  crctcshwlkn0lem6  26707  crctcshwlkn0  26713  crctcsh  26716  eucrctshift  27103  eucrct2eupth  27105  fzssfzo  30613  signsvfn  30659  elfzop1le2  39502  elfzolem1  39537  dvnmul  40158  iblspltprt  40189  stoweidlem3  40220  fourierdlem12  40336  fourierdlem50  40373  fourierdlem64  40387  fourierdlem79  40402  fzoopth  41337  iccpartiltu  41358  iccpartgt  41363  bgoldbtbndlem2  41694