Proof of Theorem crctcshwlkn0lem3
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | crctcshwlkn0lem.q |
. . . 4
⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))) |
2 | 1 | a1i 11 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))) |
3 | | breq1 4656 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))) |
4 | | oveq1 6657 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑥 + 𝑆) = (𝐽 + 𝑆)) |
5 | 4 | fveq2d 6195 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆))) |
6 | 4 | oveq1d 6665 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = 𝐽 → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)) |
7 | 6 | fveq2d 6195 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) |
8 | 3, 5, 7 | ifbieq12d 4113 |
. . . 4
⊢ (𝑥 = 𝐽 → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))) |
9 | 8 | adantl 482 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑥 = 𝐽) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))) |
10 | | crctcshwlkn0lem.s |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁)) |
11 | | 0zd 11389 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 0 ∈ ℤ) |
12 | | elfzoel2 12469 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ) |
13 | | elfzoelz 12470 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ) |
14 | 12, 13 | zsubcld 11487 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ) |
15 | 14 | peano2zd 11485 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ) |
16 | | elfzo1 12517 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁)) |
17 | | nnre 11027 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈
ℝ) |
18 | | nnre 11027 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈
ℝ) |
19 | | posdif 10521 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑆))) |
20 | | 0red 10041 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 0 ∈
ℝ) |
21 | | resubcl 10345 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ) |
22 | 21 | ancoms 469 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ) |
23 | | ltle 10126 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ (𝑁
− 𝑆) ∈ ℝ)
→ (0 < (𝑁 −
𝑆) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆))) |
24 | 20, 22, 23 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 <
(𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆))) |
25 | 22 | lep1d 10955 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)) |
26 | | 1red 10055 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 1 ∈
ℝ) |
27 | 22, 26 | readdcld 10069 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℝ) |
28 | | letr 10131 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ (𝑁
− 𝑆) ∈ ℝ
∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℝ) →
((0 ≤ (𝑁 − 𝑆) ∧ (𝑁 − 𝑆) ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1))) |
29 | 20, 22, 27, 28 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤
(𝑁 − 𝑆) ∧ (𝑁 − 𝑆) ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1))) |
30 | 25, 29 | mpan2d 710 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤
(𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1))) |
31 | 24, 30 | syld 47 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 <
(𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1))) |
32 | 19, 31 | sylbid 230 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1))) |
33 | 17, 18, 32 | syl2an 494 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁 → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1))) |
34 | 33 | 3impia 1261 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)) |
35 | 16, 34 | sylbi 207 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1)) |
36 | | eluz2 11693 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈
(ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1))) |
37 | 11, 15, 35, 36 | syl3anbrc 1246 |
. . . . . 6
⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈
(ℤ≥‘0)) |
38 | 10, 37 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈
(ℤ≥‘0)) |
39 | | fzss1 12380 |
. . . . 5
⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈
(ℤ≥‘0) → (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁)) |
40 | 38, 39 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁)) |
41 | 40 | sselda 3603 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → 𝐽 ∈ (0...𝑁)) |
42 | | fvex 6201 |
. . . . 5
⊢ (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)) ∈ V |
43 | | fvex 6201 |
. . . . 5
⊢ (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)) ∈ V |
44 | 42, 43 | ifex 4156 |
. . . 4
⊢ if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ V |
45 | 44 | a1i 11 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ V) |
46 | 2, 9, 41, 45 | fvmptd 6288 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄‘𝐽) = if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))) |
47 | | elfz2 12333 |
. . . . . 6
⊢ (𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁) ↔ ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁))) |
48 | | zre 11381 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑆 ∈ ℤ → 𝑆 ∈
ℝ) |
49 | | zre 11381 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈
ℝ) |
50 | | zre 11381 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈
ℝ) |
51 | 49, 50 | anim12i 590 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈
ℝ)) |
52 | | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈
ℝ) |
53 | | simpl 473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 𝑆 ∈
ℝ) |
54 | 52, 53 | resubcld 10458 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ) |
55 | 54 | ltp1d 10954 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (𝑁 − 𝑆) < ((𝑁 − 𝑆) + 1)) |
56 | | 1red 10055 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 1
∈ ℝ) |
57 | 54, 56 | readdcld 10069 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℝ) |
58 | | simpl 473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝐽 ∈
ℝ) |
59 | 58 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 𝐽 ∈
ℝ) |
60 | | ltletr 10129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (((𝑁 − 𝑆) < ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽) → (𝑁 − 𝑆) < 𝐽)) |
61 | 54, 57, 59, 60 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) →
(((𝑁 − 𝑆) < ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽) → (𝑁 − 𝑆) < 𝐽)) |
62 | 55, 61 | mpand 711 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) →
(((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → (𝑁 − 𝑆) < 𝐽)) |
63 | 54, 59 | ltnled 10184 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝑁 − 𝑆) < 𝐽 ↔ ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))) |
64 | 62, 63 | sylibd 229 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) →
(((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))) |
65 | 48, 51, 64 | syl2an 494 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) →
(((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))) |
66 | 65 | expcom 451 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ ℤ → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))) |
67 | 66 | ancoms 469 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ ℤ → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))) |
68 | 67 | 3adant1 1079 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ ℤ → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))) |
69 | 68 | com12 32 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑆 ∈ ℤ → ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))) |
70 | 13, 69 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))) |
71 | 70 | com13 88 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))) |
72 | 71 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) → ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))) |
73 | 72 | impcom 446 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧
𝑁 ∈ ℤ ∧
𝐽 ∈ ℤ) ∧
(((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))) |
74 | 73 | com12 32 |
. . . . . 6
⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))) |
75 | 47, 74 | syl5bi 232 |
. . . . 5
⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))) |
76 | 10, 75 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))) |
77 | 76 | imp 445 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)) |
78 | 77 | iffalsed 4097 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) |
79 | 46, 78 | eqtrd 2656 |
1
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄‘𝐽) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) |