crctcshwlkn0lem5 - Metamath Proof Explorer

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Theorem crctcshwlkn0lem5 26706

Description: Lemma for crctcshwlkn0 26713. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
crctcshwlkn0lem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
crctcshwlkn0lem.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
crctcshwlkn0lem.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcshwlkn0lem.n	⊢ 𝑁 = (#‘𝐹)
crctcshwlkn0lem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
crctcshwlkn0lem.p	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))

**Assertion**
Ref	Expression
crctcshwlkn0lem5	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑁 𝑥,𝑃 𝑥,𝑆 𝜑,𝑥 𝑖,𝐹 𝑖,𝐼 𝑖,𝑁 𝑃,𝑖 𝑆,𝑖 𝜑,𝑖,𝑗 𝑥,𝑗 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑥,𝑖,𝑗) 𝑃(𝑗) 𝑄(𝑥,𝑖,𝑗) 𝑆(𝑗) 𝐹(𝑥,𝑗) 𝐻(𝑥,𝑖,𝑗) 𝐼(𝑥,𝑗) 𝑁(𝑗)

**Proof of Theorem crctcshwlkn0lem5**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcshwlkn0lem.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
2		crctcshwlkn0lem.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
3		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → 𝑗 ∈ ℂ)
5	4	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℂ)
6		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
7		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℂ)
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑆 ∈ ℂ)
10		elfzoel2 12469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
13	5, 6, 9, 12	2addsubd 10442	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁) = (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1))
14	13	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))
15		elfzo1 12517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁))
16		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
17	16	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	3	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
20		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℤ)
21	20	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑆 ∈ ℤ)
23	19, 22	zaddcld 11486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ)
24		elfzo2 12473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) ↔ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁))
25		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ↔ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗))
26		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
27		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℝ)
28		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
29	27, 28	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
30		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
31		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ ℝ)
32	30, 31	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
33	32	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1))
34		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
35	32, 34	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℝ)
36		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ∈ ℝ)
37		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝑁 − 𝑆) ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗) → (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑗))
38	32, 35, 36, 37	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝑁 − 𝑆) ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗) → (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑗))
39	33, 38	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗 → (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑗))
40	30, 31, 36	lesubaddd 10624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑗 ↔ 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
41	39, 40	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗 → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
42	41	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑗 ∈ ℝ → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗 → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆))))
43	29, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑗 ∈ ℝ → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗 → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆))))
44	43	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 ∈ ℝ → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗 → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆))))
45	26, 44	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗 → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆))))
46	45	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗 → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆))))
47	46	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
48	47	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
49	25, 48	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
50	49	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
51	50	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
52	24, 51	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
53	52	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆))
54		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 + 𝑆) ∈ (ℤ_≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
55	18, 23, 53, 54	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ (ℤ_≥‘𝑁))
56		uznn0sub 11719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 + 𝑆) ∈ (ℤ_≥‘𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ₀)
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ₀)
58		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
59	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℝ)
60		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ ℝ)
61		ax-1 6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑆 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ))
62	61	imdistanri 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
64		lt2add 10513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝑗 < 𝑁 ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 + 𝑆) < (𝑁 + 𝑁)))
65	59, 60, 63, 64	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 < 𝑁 ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 + 𝑆) < (𝑁 + 𝑁)))
66	59, 60	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ)
67		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
68	66, 67, 67	ltsubaddd 10623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁 ↔ (𝑗 + 𝑆) < (𝑁 + 𝑁)))
69	65, 68	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 < 𝑁 ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))
70	69	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑗 < 𝑁 ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁)))
71	70	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑗 < 𝑁 ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁)))
72	71	expcomd 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 → (𝑗 < 𝑁 → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))))
73	29, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁 → (𝑗 < 𝑁 → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))))
74	73	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 < 𝑁 → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁)))
75	74	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 < 𝑁 → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁)))
76	75	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗) → (𝑗 < 𝑁 → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁)))
77	25, 76	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) → (𝑗 < 𝑁 → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁)))
78	77	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑗 < 𝑁) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))
79	78	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))
80	24, 79	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))
81	80	impcom 446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁)
82	57, 58, 81	3jca 1242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))
83	15, 82	sylanb 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))
84		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁) ↔ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))
85	83, 84	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
86	85	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
87		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
88	87	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
89		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) → (𝑖 + 1) = (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1))
90	89	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1)))
91		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) → (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))
92	91	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) → (𝑃‘(((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)))
93	90, 92	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)))
94	88, 93	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → ((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))))
95		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
96	95	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) → (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))
97	87	sneqd 4189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) → {(𝑃‘𝑖)} = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))})
98	96, 97	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}))
99	98	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}))
100	88, 93	preq12d 4276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))})
101		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))
102	101	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
103	102	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))
104	100, 103	sseq12d 3634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) ↔ {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))))
105	94, 99, 104	ifpbi123d 1027	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ↔ if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))))
106	86, 105	rspcdv 3312	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))))
107	14, 106	mpdan 702	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))))
108	2, 107	sylan 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))))
109	108	ex 450	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))))))
110	1, 109	mpid 44	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))))
111	110	imp 445	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))))
112		elfzofz 12485	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁))
113		crctcshwlkn0lem.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
114	2, 113	crctcshwlkn0lem3 26704	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
115	112, 114	sylan2 491	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
116		fzofzp1 12565	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁))
117	2, 113	crctcshwlkn0lem3 26704	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)))
118	116, 117	sylan2 491	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)))
119		crctcshwlkn0lem.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
120	119	fveq1i 6192	. . . . . 6 ⊢ (𝐻‘𝑗) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗)
121		crctcshwlkn0lem.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
122	121	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
123	2, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
124	123	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑆 ∈ ℤ)
125		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 → 𝑆 ≤ 𝑁))
126	29, 125	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁 → 𝑆 ≤ 𝑁))
127	126	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑆 ≤ 𝑁)
128		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℕ₀)
129		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
130	128, 129	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀))
131	130	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀))
132		nn0sub 11343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑆 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ₀))
133	131, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑆 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ₀))
134	127, 133	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ₀)
135	15, 134	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ₀)
136		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 1 ∈ ℕ₀)
138	135, 137	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℕ₀)
139		elnn0uz 11725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
140	138, 139	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
141		fzoss1 12495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (ℤ_≥‘0) → (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
142	2, 140, 141	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
143	142	sselda 3603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (0..^𝑁))
144		crctcshwlkn0lem.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (#‘𝐹)
145	144	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^(#‘𝐹))
146	143, 145	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
147		cshwidxmod 13549	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (#‘𝐹))))
148	122, 124, 146, 147	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (#‘𝐹))))
149	144	eqcomi 2631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (#‘𝐹) = 𝑁
150	149	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 + 𝑆) mod (#‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod 𝑁)
151		eluzelre 11698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
152	151	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁) → 𝑗 ∈ ℝ)
153	152	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → 𝑗 ∈ ℝ)
154	27	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑆 ∈ ℝ)
155	154	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → 𝑆 ∈ ℝ)
156	153, 155	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ)
157		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
158	157	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
159	158	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
160	50	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆))
161	159	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
162		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → 𝑗 < 𝑁)
163		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → 𝑆 < 𝑁)
164	153, 155, 161, 162, 163	lt2addmuld 11282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁))
165	160, 164	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁)))
166	156, 159, 165	jca31 557	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁))))
167	166	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁) → (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁)))))
168	24, 167	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁)))))
169	15, 168	sylbi 207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁)))))
170	2, 169	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁)))))
171	170	imp 445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁))))
172		2submod 12731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁))) → ((𝑗 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))
173	171, 172	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))
174	150, 173	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) mod (#‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))
175	174	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (#‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
176	148, 175	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
177	120, 176	syl5eq 2668	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (𝐻‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
178	177	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))
179		simp1 1061	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → (𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
180		simp2 1062	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)))
181	179, 180	eqeq12d 2637	. . . . 5 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → ((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) ↔ (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))))
182		simp3 1063	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))
183	179	sneqd 4189	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → {(𝑄‘𝑗)} = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))})
184	182, 183	eqeq12d 2637	. . . . 5 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → ((𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}))
185	179, 180	preq12d 4276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))})
186	185, 182	sseq12d 3634	. . . . 5 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → ({(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) ↔ {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))))
187	181, 184, 186	ifpbi123d 1027	. . . 4 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → (if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))))
188	115, 118, 178, 187	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))))
189	111, 188	mpbird 247	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
190	189	ralrimiva 2966	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 if-wif 1012 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ∀wral 2912 ⊆ wss 3574 ifcif 4086 {csn 4177 {cpr 4179 class class class wbr 4653 ↦ cmpt 4729 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 · cmul 9941 < clt 10074 ≤ cle 10075 − cmin 10266 ℕcn 11020 2c2 11070 ℕ₀cn0 11292 ℤcz 11377 ℤ_≥cuz 11687 ℝ⁺crp 11832 ...cfz 12326 ..^cfzo 12465 mod cmo 12668 #chash 13117 Word cword 13291 cyclShift ccsh 13534

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-ifp 1013 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-hash 13118 df-word 13299 df-concat 13301 df-substr 13303 df-csh 13535

This theorem is referenced by: crctcshwlkn0lem7 26708

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