Theorem crctcsh 26716

Description: Cyclically shifting the indices of a circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ results in a circuit ⟨𝐻, 𝑄⟩. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcsh.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n	⊢ 𝑁 = (#‘𝐹)
crctcsh.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
crctcsh	⊢ (𝜑 → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝐻

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem crctcsh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcsh.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		crctcsh.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		crctcsh.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4		crctcsh.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (#‘𝐹)
5		crctcsh.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6		crctcsh.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7		crctcsh.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	crctcshlem4 26712	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃))
9		breq12 4658	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃) → (𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄 ↔ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃))
10	3, 9	syl5ibrcom 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))
11	10	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → ((𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))
12	8, 11	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	crctcshtrl 26715	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
14	13	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
15	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))))
16		breq1 4656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
17		oveq1 6657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 + 𝑆) = (0 + 𝑆))
18	17	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
19	17	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) = ((0 + 𝑆) − 𝑁))
20	19	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁)))
21	16, 18, 20	ifbieq12d 4113	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(0 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(0 + 𝑆)), (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁))))
22		elfzo0le 12511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ≤ 𝑁)
23	5, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≤ 𝑁)
24	1, 2, 3, 4	crctcshlem1 26709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
25	24	nn0red 11352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
26		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
27	5, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
28	27	zred 11482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
29	25, 28	subge0d 10617	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝑆 ≤ 𝑁))
30	23, 29	mpbird 247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆))
31	30	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆))
32	31	iftrued 4094	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → if(0 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(0 + 𝑆)), (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
33	21, 32	sylan9eqr 2678	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = 0) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
34	3	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
35	1, 2, 34, 4	crctcshlem1 26709	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
36		0elfz 12436	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
37	35, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 0 ∈ (0...𝑁))
38		fvexd 6203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑃‘(0 + 𝑆)) ∈ V)
39	15, 33, 37, 38	fvmptd 6288	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘0) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
40		breq1 4656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (#‘𝐻) → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ (#‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆)))
41		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (#‘𝐻) → (𝑥 + 𝑆) = ((#‘𝐻) + 𝑆))
42	41	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (#‘𝐻) → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘((#‘𝐻) + 𝑆)))
43	41	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (#‘𝐻) → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) = (((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))
44	43	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (#‘𝐻) → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
45	40, 42, 44	ifbieq12d 4113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (#‘𝐻) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if((#‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘((#‘𝐻) + 𝑆)), (𝑃‘(((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))))
46		elfzoel2 12469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
47		elfzonn0 12512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ0)
48		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ ℕ0)
49	48	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ≠ 0))
50		elnnne0 11306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ ↔ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ≠ 0))
51	49, 50	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ ℕ)
52	51	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → 0 < 𝑆)
53		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
54		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → 𝑆 ∈ ℝ)
55	53, 54	anim12ci 591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
57		ltsubpos 10520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑆 ↔ (𝑁 − 𝑆) < 𝑁))
58	57	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑆) < 𝑁 ↔ 0 < 𝑆))
59	56, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((𝑁 − 𝑆) < 𝑁 ↔ 0 < 𝑆))
60	52, 59	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑁 − 𝑆) < 𝑁)
61	60	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁 − 𝑆) < 𝑁))
62	46, 47, 61	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁 − 𝑆) < 𝑁))
63	5, 62	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁 − 𝑆) < 𝑁))
64	63	imp 445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑁 − 𝑆) < 𝑁)
65	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
66	1, 2, 34, 4, 65, 6	crctcshlem2 26710	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (#‘𝐻) = 𝑁)
67	66	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((#‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
68	67	notbid 308	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (¬ (#‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
69	25, 28	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
70	69, 25	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
72		ltnle 10117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑆) < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((𝑁 − 𝑆) < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
74	68, 73	bitr4d 271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (¬ (#‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ (𝑁 − 𝑆) < 𝑁))
75	64, 74	mpbird 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ¬ (#‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆))
76	75	iffalsed 4097	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → if((#‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘((#‘𝐻) + 𝑆)), (𝑃‘(((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
77	45, 76	sylan9eqr 2678	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (#‘𝐻)) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
78	1, 2, 3, 4, 5, 6	crctcshlem2 26710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐻) = 𝑁)
79	78, 24	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐻) ∈ ℕ0)
80	79	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐻) ∈ ℂ)
81	27	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
82	24	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
83	80, 81, 82	addsubd 10413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁) = (((#‘𝐻) − 𝑁) + 𝑆))
84	78	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐻) − 𝑁) = (𝑁 − 𝑁))
85	82	subidd 10380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑁) = 0)
86	84, 85	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐻) − 𝑁) = 0)
87	86	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((#‘𝐻) − 𝑁) + 𝑆) = (0 + 𝑆))
88	83, 87	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁) = (0 + 𝑆))
89	88	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
90	89	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑃‘(((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
91	90	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (#‘𝐻)) → (𝑃‘(((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
92	77, 91	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (#‘𝐻)) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
93	78	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (#‘𝐻) = 𝑁)
94		nn0fz0 12437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
95	24, 94	sylib 208	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
96	95	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
97	93, 96	eqeltrd 2701	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (#‘𝐻) ∈ (0...𝑁))
98	15, 92, 97, 38	fvmptd 6288	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘(#‘𝐻)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
99	39, 98	eqtr4d 2659	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘0) = (𝑄‘(#‘𝐻)))
100		iscrct 26685	. . 3 ⊢ (𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ∧ (𝑄‘0) = (𝑄‘(#‘𝐻))))
101	14, 99, 100	sylanbrc 698	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
102	12, 101	pm2.61dane 2881	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200  ifcif 4086   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936   + caddc 9939   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  #chash 13117   cyclShift ccsh 13534  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  Trailsctrls 26587  Circuitsccrcts 26679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-substr 13303  df-csh 13535  df-wlks 26495  df-trls 26589  df-crcts 26681

This theorem is referenced by:  eucrctshift  27103