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Theorem bgoldbtbndlem2 41694
Description: Lemma 2 for bgoldbtbnd 41697. (Contributed by AV, 1-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bgoldbtbnd.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ11))
bgoldbtbnd.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ11))
bgoldbtbnd.b (𝜑 → ∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
bgoldbtbnd.d (𝜑𝐷 ∈ (ℤ‘3))
bgoldbtbnd.f (𝜑𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
bgoldbtbnd.i (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))))
bgoldbtbnd.0 (𝜑 → (𝐹‘0) = 7)
bgoldbtbnd.1 (𝜑 → (𝐹‘1) = 13)
bgoldbtbnd.l (𝜑𝑀 < (𝐹𝐷))
bgoldbtbndlem2.s 𝑆 = (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))
Assertion
Ref Expression
bgoldbtbndlem2 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐹   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑛)   𝐷(𝑛)   𝑆(𝑖,𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐼(𝑛)   𝑀(𝑖,𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑋(𝑖,𝑛)

Proof of Theorem bgoldbtbndlem2
StepHypRef Expression
1 bgoldbtbnd.i . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))))
2 elfzoelz 12470 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐼 ∈ ℤ)
3 elfzoel2 12469 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
4 elfzom1b 12567 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^(𝐷 − 1))))
5 fzossrbm1 12497 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ ℤ → (0..^(𝐷 − 1)) ⊆ (0..^𝐷))
65adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (0..^(𝐷 − 1)) ⊆ (0..^𝐷))
76sseld 3602 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐼 − 1) ∈ (0..^(𝐷 − 1)) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷)))
84, 7sylbid 230 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷)))
98com12 32 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷)))
102, 3, 9mp2and 715 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷))
11 fveq2 6191 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼 − 1) → (𝐹𝑖) = (𝐹‘(𝐼 − 1)))
1211eleq1d 2686 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝐼 − 1) → ((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})))
13 oveq1 6657 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝐼 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝐼 − 1) + 1))
1413fveq2d 6195 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼 − 1) → (𝐹‘(𝑖 + 1)) = (𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)))
1514, 11oveq12d 6668 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼 − 1) → ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) = ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
1615breq1d 4663 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝐼 − 1) → (((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ↔ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)))
1715breq2d 4665 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝐼 − 1) → (4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) ↔ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
1812, 16, 173anbi123d 1399 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝐼 − 1) → (((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) ↔ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
1918rspcv 3305 . . . . . 6 ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
2010, 19syl 17 . . . . 5 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
211, 20syl5com 31 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
2221a1d 25 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))))
23223imp 1256 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
24 bgoldbtbndlem2.s . . . . 5 𝑆 = (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))
25 simp2 1062 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝑋 ∈ Odd )
26 oddprmALTV 41598 . . . . . . . . 9 ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )
27263ad2ant1 1082 . . . . . . . 8 (((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )
2825, 27anim12i 590 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → (𝑋 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
2928adantr 481 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → (𝑋 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
30 omoeALTV 41596 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even )
3129, 30syl 17 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even )
3224, 31syl5eqel 2705 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → 𝑆 ∈ Even )
332zcnd 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐼 ∈ ℂ)
34333ad2ant3 1084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐼 ∈ ℂ)
35 npcan1 10455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
3736fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) = (𝐹𝐼))
3837oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
3938breq1d 4663 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ↔ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)))
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ↔ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)))
41 eldifi 3732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ)
42 prmz 15389 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℤ)
43 zre 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℤ → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
44 simp1 1061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → (𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}))
4544ralimi 2952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}))
46 fzo0ss1 12498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (1..^𝐷) ⊆ (0..^𝐷)
4746sseli 3599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐼 ∈ (0..^𝐷))
4847adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐼 ∈ (0..^𝐷))
49 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = 𝐼 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝐼))
5049eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = 𝐼 → ((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))
5150rspcv 3305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐼 ∈ (0..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))
5248, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))
5352ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}))))
5453com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}))))
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))))
5655com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))))
5745, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))))
581, 57mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}))))
59583imp 1256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}))
60 eldifi 3732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹𝐼) ∈ ℙ)
61 prmz 15389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝐼) ∈ ℙ → (𝐹𝐼) ∈ ℤ)
62 zre 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝐼) ∈ ℤ → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
63 bgoldbtbnd.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ11))
64 eluzelz 11697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ11) → 𝑁 ∈ ℤ)
65 zre 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
66 oddz 41544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ ℤ)
6766zred 11482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ ℝ)
68 simplr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℝ)
69 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
70 4re 11097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4 ∈ ℝ
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → 4 ∈ ℝ)
7268, 69, 71lesubaddd 10624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 ↔ 𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼))))
73 simpllr 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → 𝑋 ∈ ℝ)
74 simplrr 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
7573, 74resubcld 10458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
7670a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → 4 ∈ ℝ)
77 simplrl 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
7876, 77readdcld 10069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (4 + (𝐹𝐼)) ∈ ℝ)
7978, 74resubcld 10458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → ((4 + (𝐹𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
80 simplll 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → 𝑁 ∈ ℝ)
8171, 69readdcld 10069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (4 + (𝐹𝐼)) ∈ ℝ)
82 simprr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
8368, 81, 82lesub1d 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ↔ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ≤ ((4 + (𝐹𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
8483biimpa 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ≤ ((4 + (𝐹𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
8584adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ≤ ((4 + (𝐹𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
86 resubcl 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
8786adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
88 simpll 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
89 ltaddsub2 10503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((4 + ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁 ↔ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)))
9089bicomd 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ↔ (4 + ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
9171, 87, 88, 90syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ↔ (4 + ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
9291biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → (4 + ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
9392adantld 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → ((𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)) → (4 + ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
9493imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (4 + ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁)
95 4cn 11098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4 ∈ ℂ
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → 4 ∈ ℂ)
9769recnd 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝐹𝐼) ∈ ℂ)
98 recn 10026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
9998adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
10099adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
10196, 97, 100addsubassd 10412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → ((4 + (𝐹𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (4 + ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
102101breq1d 4663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (((4 + (𝐹𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ↔ (4 + ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
103102adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (((4 + (𝐹𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ↔ (4 + ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
10494, 103mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → ((4 + (𝐹𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)
10575, 79, 80, 85, 104lelttrd 10195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)
106105exp32 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
10772, 106sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
108107com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
109108exp32 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
11067, 109sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
111110ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ Odd → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))))
11265, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ Odd → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))))
11363, 64, 1123syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))))
114113imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ) → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
1151143adant3 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
11662, 115syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝐼) ∈ ℤ → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
11760, 61, 1163syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
11859, 117mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))
11943, 118syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℤ → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))
12041, 42, 1193syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))
121120impcom 446 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
12240, 121sylbid 230 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
123122expcom 451 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))
124123com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))
125124imp 445 . . . . . . . . . 10 (((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
1261253adant3 1081 . . . . . . . . 9 (((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
127126impcom 446 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))
128127com12 32 . . . . . . 7 ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))
129128adantl 482 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4) → (((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))
130129impcom 446 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)
13124, 130syl5eqbr 4688 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → 𝑆 < 𝑁)
13270a1i 11 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → 4 ∈ ℝ)
133 1eluzge0 11732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ (ℤ‘0)
134 fzoss1 12495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1..^𝐷) ⊆ (0..^𝐷))
135133, 134mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1..^𝐷) ⊆ (0..^𝐷))
136135sselda 3603 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐼 ∈ (0..^𝐷))
137 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 + 1) = (𝐼 + 1))
138137fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝐼 → (𝐹‘(𝑖 + 1)) = (𝐹‘(𝐼 + 1)))
139138, 49oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝐼 → ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) = ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))
140139breq1d 4663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝐼 → (((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ↔ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4)))
141139breq2d 4665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝐼 → (4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) ↔ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼))))
14250, 140, 1413anbi123d 1399 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝐼 → (((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) ↔ ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))))
143142rspcv 3305 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (0..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))))
144136, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))))
14561zred 11482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝐼) ∈ ℙ → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
14660, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
1471463ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼))) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
148144, 147syl6 35 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ))
149148ex 450 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)))
1501, 149mpid 44 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ))
151150imp 445 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
1521513adant2 1080 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
153152ad2antrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
15442zred 11482 . . . . . . . . . 10 ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
15541, 154syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
1561553ad2ant1 1082 . . . . . . . 8 (((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
157156ad2antlr 763 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
158153, 157resubcld 10458 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
159673ad2ant2 1083 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝑋 ∈ ℝ)
160 resubcl 10345 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
161159, 156, 160syl2an 494 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
162161adantr 481 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
16333, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
1641633ad2ant3 1084 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
165164fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) = (𝐹𝐼))
166165oveq1d 6665 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
167166breq2d 4665 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ↔ 4 < ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
168167biimpcd 239 . . . . . . . . 9 (4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 4 < ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
1691683ad2ant3 1084 . . . . . . . 8 (((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 4 < ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
170169impcom 446 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → 4 < ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
171170adantr 481 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → 4 < ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
172159ad2antrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → 𝑋 ∈ ℝ)
173 bgoldbtbnd.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐷 ∈ (ℤ‘3))
174 eluzge3nn 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷 ∈ (ℤ‘3) → 𝐷 ∈ ℕ)
175173, 174syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
176175adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℕ)
177 bgoldbtbnd.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
178177adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
179133, 134mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐷 ∈ (ℤ‘3) → (1..^𝐷) ⊆ (0..^𝐷))
180 fzossfz 12488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0..^𝐷) ⊆ (0...𝐷)
181179, 180syl6ss 3615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷 ∈ (ℤ‘3) → (1..^𝐷) ⊆ (0...𝐷))
182173, 181syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1..^𝐷) ⊆ (0...𝐷))
183182sselda 3603 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐼 ∈ (0...𝐷))
184176, 178, 183iccpartxr 41355 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ*)
185 fzofzp1 12565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ (0..^𝐷) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝐷))
186136, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝐷))
187176, 178, 186iccpartxr 41355 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
188184, 187jca 554 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*))
1891883adant2 1080 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*))
190 elico1 12218 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐼) ≤ 𝑋𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)))))
191189, 190syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐼) ≤ 𝑋𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)))))
192 simp2 1062 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐼) ≤ 𝑋𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝐹𝐼) ≤ 𝑋)
193191, 192syl6bi 243 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝐹𝐼) ≤ 𝑋))
194193adantrd 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4) → (𝐹𝐼) ≤ 𝑋))
195194adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → ((𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4) → (𝐹𝐼) ≤ 𝑋))
196195imp 445 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → (𝐹𝐼) ≤ 𝑋)
197153, 172, 157, 196lesub1dd 10643 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ≤ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
198132, 158, 162, 171, 197ltletrd 10197 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
199198, 24syl6breqr 4695 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → 4 < 𝑆)
20032, 131, 1993jca 1242 . . 3 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆))
201200ex 450 . 2 (((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → ((𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))
20223, 201mpdan 702 1 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1037   = wceq 1483  wcel 1990  wral 2912  cdif 3571  wss 3574  {csn 4177   class class class wbr 4653  cfv 5888  (class class class)co 6650  cc 9934  cr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939  *cxr 10073   < clt 10074  cle 10075  cmin 10266  cn 11020  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  7c7 11075  cz 11377  cdc 11493  cuz 11687  [,)cico 12177  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  cprime 15385  RePartciccp 41349   Even ceven 41537   Odd codd 41538   GoldbachEven cgbe 41633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-iccp 41350  df-even 41539  df-odd 41540
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