Theorem elrab3 3364

Description: Membership in a restricted class abstraction, using implicit substitution. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
elrab.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
elrab3	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ↔ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem elrab3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrab.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2	1	elrab 3363	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))
3	2	baib 944	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ↔ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {crab 2916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rab 2921  df-v 3202

This theorem is referenced by:  unimax  4473  fnelfp  6441  fnelnfp  6443  fnse  7294  fin23lem30  9164  isf32lem5  9179  negn0  10459  ublbneg  11773  supminf  11775  sadval  15178  smuval  15203  dvdslcm  15311  dvdslcmf  15344  isprm2lem  15394  isacs1i  16318  isinito  16650  istermo  16651  subgacs  17629  nsgacs  17630  odngen  17992  lssacs  18967  mretopd  20896  txkgen  21455  xkoco1cn  21460  xkoco2cn  21461  xkoinjcn  21490  ordthmeolem  21604  shft2rab  23276  sca2rab  23280  lhop1lem  23776  ftalem5  24803  vmasum  24941  israg  25592  ebtwntg  25862  eupth2lem3lem3  27090  eupth2lem3lem4  27091  eupth2lem3lem6  27093  tgoldbachgt  30741  cvmliftmolem1  31263  neibastop3  32357  fdc  33541  pclvalN  35176  dvhb1dimN  36274  hdmaplkr  37205  diophren  37377  islmodfg  37639  sdrgacs  37771  fsovcnvlem  38307  ntrneiel  38379  radcnvrat  38513  supminfxr  39694  stoweidlem34  40251