Theorem dvdslcmf 15344

Description: The least common multiple of a set of integers is divisible by each of its elements. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dvdslcmf	⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))

Distinct variable group:   𝑥,𝑍

Proof of Theorem dvdslcmf

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ⊆ ℤ → (𝑥 ∈ 𝑍 → 𝑥 ∈ ℤ))
2	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ 𝑍 → 𝑥 ∈ ℤ))
3	2	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑍 → 𝑥 ∈ ℤ))
4	3	imp 445	. . . . 5 ⊢ ((((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ ℤ)
5		dvds0 14997	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∥ 0)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∥ 0)
7		lcmf0val 15335	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 0 ∈ 𝑍) → (lcm‘𝑍) = 0)
8	7	ad4ant13 1292	. . . 4 ⊢ ((((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → (lcm‘𝑍) = 0)
9	6, 8	breqtrrd 4681	. . 3 ⊢ ((((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))
10	9	ralrimiva 2966	. 2 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))
11		df-nel 2898	. . . 4 ⊢ (0 ∉ 𝑍 ↔ ¬ 0 ∈ 𝑍)
12		lcmfcllem 15338	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛})
13	12	3expa 1265	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛})
14	11, 13	sylan2br 493	. . 3 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛})
15		lcmfn0cl 15339	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ ℕ)
16	15	3expa 1265	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ ℕ)
17	11, 16	sylan2br 493	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → (lcm‘𝑍) ∈ ℕ)
18		breq2 4657	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (lcm‘𝑍) → (𝑥 ∥ 𝑛 ↔ 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍)))
19	18	ralbidv 2986	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (lcm‘𝑍) → (∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍)))
20	19	elrab3 3364	. . . 4 ⊢ ((lcm‘𝑍) ∈ ℕ → ((lcm‘𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍)))
21	17, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → ((lcm‘𝑍) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ 𝑛} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍)))
22	14, 21	mpbid 222	. 2 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))
23	10, 22	pm2.61dan 832	1 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∉ wnel 2897  ∀wral 2912  {crab 2916   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  Fincfn 7955  0cc0 9936  ℕcn 11020  ℤcz 11377   ∥ cdvds 14983  lcmclcmf 15302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636  df-dvds 14984  df-lcmf 15304

This theorem is referenced by:  lcmf  15346  lcmfunsnlem2lem2  15352  lcmfdvdsb  15356  prmodvdslcmf  15751  prmgaplcmlem1  15755