Theorem ebtwntg 25862

Description: The betweenness relation used in the Tarski structure for the Euclidean geometry is the same as Btwn. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ebtwntg.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ebtwntg.2	⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁))
ebtwntg.3	⊢ 𝐼 = (Itv‘(EEG‘𝑁))
ebtwntg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
ebtwntg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
ebtwntg.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ebtwntg	⊢ (𝜑 → (𝑍 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩ ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))

Proof of Theorem ebtwntg

Dummy variables 𝑥 𝑖 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itvid 25341	. . . . . 6 ⊢ Itv = Slot (Itv‘ndx)
2		fvexd 6203	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (EEG‘𝑁) ∈ V)
3		ebtwntg.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		eengstr 25860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩)
6		isstruct 15870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩ ↔ ((1 ∈ ℕ ∧ ;17 ∈ ℕ ∧ 1 ≤ ;17) ∧ Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}) ∧ dom (EEG‘𝑁) ⊆ (1...;17)))
7	6	simp2bi 1077	. . . . . . . 8 ⊢ ((EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩ → Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
8	5, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
9		structcnvcnv 15871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩ → ◡◡(EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
10	5, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡◡(EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
11	10	funeqd 5910	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Fun ◡◡(EEG‘𝑁) ↔ Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅})))
12	8, 11	mpbird 247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡(EEG‘𝑁))
13		opex 4932	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ V
14	13	prid1 4297	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}
15		elun2 3781	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩} → ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩})
17		eengv 25859	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
18	3, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
19	16, 18	syl5eleqr 2708	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ (EEG‘𝑁))
20		fvex 6201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝔼‘𝑁) ∈ V
21	20, 20	mpt2ex 7247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩}) ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩}) ∈ V)
23	1, 2, 12, 19, 22	strfv2d 15905	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩}) = (Itv‘(EEG‘𝑁)))
24		ebtwntg.3	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘(EEG‘𝑁))
25	23, 24	syl6reqr 2675	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩}))
26		simprl 794	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 𝑥 = 𝑋)
27		simprr 796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 𝑦 = 𝑌)
28	26, 27	opeq12d 4410	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑋, 𝑌⟩)
29	28	breq2d 4665	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩))
30	29	rabbidv 3189	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩} = {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩})
31		ebtwntg.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
32		ebtwntg.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁))
33	31, 32	syl6eleq 2711	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)))
34		eengbas 25861	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁)))
35	3, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁)))
36	33, 35	eleqtrrd 2704	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁))
37		ebtwntg.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
38	37, 32	syl6eleq 2711	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)))
39	38, 35	eleqtrrd 2704	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))
40	20	rabex 4813	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V
41	40	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V)
42	25, 30, 36, 39, 41	ovmpt2d 6788	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩})
43	42	eleq2d 2687	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝑍 ∈ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩}))
44		ebtwntg.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
45	44, 32	syl6eleq 2711	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)))
46	45, 35	eleqtrrd 2704	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
47		breq1 4656	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩ ↔ 𝑍 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩))
48	47	elrab3 3364	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝑍 ∈ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩} ↔ 𝑍 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩))
49	46, 48	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩} ↔ 𝑍 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩))
50	43, 49	bitr2d 269	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩ ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∨ w3o 1036   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {crab 2916  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {csn 4177  {cpr 4179  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653  ^◡ccnv 5113  dom cdm 5114  Fun wfun 5882  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652  1c1 9937   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕcn 11020  2c2 11070  7c7 11075  ;cdc 11493  ...cfz 12326  ↑cexp 12860  Σcsu 14416   Struct cstr 15853  ndxcnx 15854  Basecbs 15857  distcds 15950  Itvcitv 25335  LineGclng 25336  𝔼cee 25768   Btwn cbtwn 25769  EEGceeng 25857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-ds 15964  df-itv 25337  df-lng 25338  df-eeng 25858

This theorem is referenced by:  elntg  25864  eengtrkg  25865  eengtrkge  25866