Theorem eluzelcn 11699

Description: A member of an upper set of integers is a complex number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelcn	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Proof of Theorem eluzelcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 11698	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	recnd 10068	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  ℂcc 9934  ℤ_≥cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  uzp1  11721  peano2uzr  11743  uzaddcl  11744  eluzgtdifelfzo  12529  fzosplitpr  12577  fldiv4lem1div2uz2  12637  mulp1mod1  12711  seqm1  12818  bcval5  13105  swrdfv2  13446  relexpaddg  13793  shftuz  13809  seqshft  13825  climshftlem  14305  climshft  14307  isumshft  14571  dvdsexp  15049  pclem  15543  efgtlen  18139  dvradcnv  24175  clwwlksext2edg  26923  extwwlkfablem1  27207  numclwwlkovf2exlem1  27211  numclwwlkovf2exlem2  27212  numclwwlkovf2ex  27219  numclwlk1lem2foalem  27222  numclwlk1lem2fo  27228  numclwwlk2  27240  nn0prpwlem  32317  rmspecsqrtnq  37470  rmspecsqrtnqOLD  37471  rmxm1  37499  rmym1  37500  rmxluc  37501  rmyluc  37502  rmyluc2  37503  jm2.17a  37527  relexpaddss  38010  trclfvdecomr  38020  binomcxplemnn0  38548  stoweidlem14  40231  fmtnorec3  41460  lighneallem4a  41525  lighneallem4b  41526  evengpop3  41686  evengpoap3  41687  nnsum4primeseven  41688  nnsum4primesevenALTV  41689  expnegico01  42308  dignn0ldlem  42396  dignnld  42397  digexp  42401  dig1  42402  nn0sumshdiglemB  42414