Theorem seqshft 13825

Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
seqshft.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
seqshft	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁))

Proof of Theorem seqshft

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqfn 12813	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) Fn (ℤ≥‘𝑀))
2	1	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) Fn (ℤ≥‘𝑀))
3		zsubcl 11419	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
4		seqfn 12813	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ → seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)))
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)))
6		zcn 11382	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7	6	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
8		seqex 12803	. . . . 5 ⊢ seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) ∈ V
9	8	shftfn 13813	. . . 4 ⊢ ((seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))})
10	5, 7, 9	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))})
11		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		shftuz 13809	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))} = (ℤ≥‘((𝑀 − 𝑁) + 𝑁)))
13	11, 3, 12	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))} = (ℤ≥‘((𝑀 − 𝑁) + 𝑁)))
14		zcn 11382	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
15		npcan 10290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
16	14, 6, 15	syl2an 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
17	16	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (ℤ≥‘((𝑀 − 𝑁) + 𝑁)) = (ℤ≥‘𝑀))
18	13, 17	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))} = (ℤ≥‘𝑀))
19	18	fneq2d 5982	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁))} ↔ (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn (ℤ≥‘𝑀)))
20	10, 19	mpbid 222	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) Fn (ℤ≥‘𝑀))
21		negsub 10329	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
22	14, 6, 21	syl2an 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
23	22	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
24	23	seqeq1d 12807	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹) = seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹))
25		eluzelcn 11699	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑧 ∈ ℂ)
26		negsub 10329	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑧 + -𝑁) = (𝑧 − 𝑁))
27	25, 7, 26	syl2anr 495	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑧 + -𝑁) = (𝑧 − 𝑁))
28	24, 27	fveq12d 6197	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 + -𝑁)) = (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 − 𝑁)))
29		simpr 477	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
30		znegcl 11412	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
31	30	ad2antlr 763	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → -𝑁 ∈ ℤ)
32		elfzelz 12342	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑀...𝑧) → 𝑦 ∈ ℤ)
33	32	zcnd 11483	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑀...𝑧) → 𝑦 ∈ ℂ)
34		seqshft.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 ∈ V
35	34	shftval 13814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)))
36		negsub 10329	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑦 + -𝑁) = (𝑦 − 𝑁))
37	36	ancoms 469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦 + -𝑁) = (𝑦 − 𝑁))
38	37	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)) = (𝐹‘(𝑦 − 𝑁)))
39	35, 38	eqtr4d 2659	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)))
40	6, 33, 39	syl2an 494	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)))
41	40	ad4ant24 1298	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑧)) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + -𝑁)))
42	29, 31, 41	seqshft2 12827	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁))‘𝑧) = (seq(𝑀 + -𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 + -𝑁)))
43	8	shftval 13814	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧) = (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 − 𝑁)))
44	7, 25, 43	syl2an 494	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧) = (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹)‘(𝑧 − 𝑁)))
45	28, 42, 44	3eqtr4d 2666	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁))‘𝑧) = ((seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁)‘𝑧))
46	2, 20, 45	eqfnfvd 6314	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → seq𝑀( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq(𝑀 − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {crab 2916  Vcvv 3200   Fn wfn 5883  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934   + caddc 9939   − cmin 10266  -cneg 10267  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326  seqcseq 12801   shift cshi 13806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-shft 13807

This theorem is referenced by:  isershft  14394  cvgrat  14615  eftlub  14839  dvradcnv2  38546  binomcxplemnotnn0  38555